Номер 3.133, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.133. Определите, сколько общих точек имеет прямая $y = 2$ и график функции:

a) $f(x) = x^4 - 2x^2$;

б) $f(x) = 2x^4 - x$;

В) $f(x) = 5x^4 - 4x^5$;

Г) $f(x) = x^4 - 4x^3 + 9$.

Чтобы определить, сколько общих точек имеет прямая $y = 2$ и график функции $f(x)$, необходимо найти количество действительных решений уравнения $f(x) = 2$ для каждой из заданных функций. Это можно сделать, проанализировав каждую функцию с помощью производной для нахождения ее экстремумов и понимания общего вида графика.

а) Рассмотрим уравнение $f(x) = 2$ для функции $f(x) = x^4 - 2x^2$.

$x^4 - 2x^2 = 2$

$x^4 - 2x^2 - 2 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 2t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$, используя формулу для корней:

$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = 1 + \sqrt{3}$

$t_2 = 1 - \sqrt{3}$

Поскольку $t = x^2$ должно быть неотрицательным ($t \ge 0$), а $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $t_1 = 1 + \sqrt{3} > 0$ и $t_2 = 1 - \sqrt{3} < 0$.

Следовательно, подходит только $t_1$. Возвращаемся к переменной $x$:

$x^2 = 1 + \sqrt{3}$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt{1 + \sqrt{3}}$ и $x_2 = -\sqrt{1 + \sqrt{3}}$.

Таким образом, прямая $y=2$ и график функции имеют две общие точки.

б) Рассмотрим уравнение $f(x) = 2$ для функции $f(x) = 2x^4 - x$.

$2x^4 - x = 2$

Для анализа количества корней уравнения $2x^4 - x - 2 = 0$ исследуем функцию $f(x) = 2x^4 - x$ с помощью производной.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^4 - x)' = 8x^3 - 1$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$8x^3 - 1 = 0 \implies 8x^3 = 1 \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$

Функция имеет одну критическую точку. Для определения ее типа найдем вторую производную:

$f''(x) = (8x^3 - 1)' = 24x^2$

При $x = \frac{1}{2}$, $f''(\frac{1}{2}) = 24(\frac{1}{2})^2 = 6 > 0$. Значит, в точке $x = \frac{1}{2}$ функция имеет минимум.

Найдем значение функции в этой точке:

$f_{min} = f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^4 - \frac{1}{2} = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} - \frac{4}{8} = -\frac{3}{8}$

Это глобальный минимум функции, так как критическая точка единственная. При $x \to \pm \infty$, $f(x) \to +\infty$. График функции сначала убывает до минимального значения $-\frac{3}{8}$, а затем возрастает.

Поскольку значение $y = 2$ больше, чем минимальное значение функции ($2 > -\frac{3}{8}$), прямая $y=2$ пересекает график функции в двух точках.

в) Рассмотрим уравнение $f(x) = 2$ для функции $f(x) = 5x^4 - 4x^5$.

$5x^4 - 4x^5 = 2$

Исследуем функцию $f(x) = 5x^4 - 4x^5$.

Найдем производную:

$f'(x) = (5x^4 - 4x^5)' = 20x^3 - 20x^4 = 20x^3(1 - x)$

Найдем критические точки:

$20x^3(1 - x) = 0 \implies x = 0$ или $x = 1$.

Проанализируем знак производной на интервалах:

• При $x < 0$, $f'(x) < 0$ (функция убывает).
• При $0 < x < 1$, $f'(x) > 0$ (функция возрастает).
• При $x > 1$, $f'(x) < 0$ (функция убывает).

Следовательно, $x=0$ - точка локального минимума, а $x=1$ - точка локального максимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$f(0) = 5(0)^4 - 4(0)^5 = 0$ (локальный минимум).

$f(1) = 5(1)^4 - 4(1)^5 = 5 - 4 = 1$ (локальный максимум).

Рассмотрим поведение функции на бесконечности:

$\lim_{x \to +\infty} (5x^4 - 4x^5) = -\infty$

$\lim_{x \to -\infty} (5x^4 - 4x^5) = +\infty$

График функции убывает из $+\infty$ до локального минимума в точке $(0, 0)$, затем возрастает до локального максимума в точке $(1, 1)$ и снова убывает до $-\infty$.

Прямая $y=2$ находится выше точки локального максимума ($2 > 1$). Следовательно, прямая $y=2$ пересечет график только один раз, на интервале $(-\infty, 0)$, где функция убывает от $+\infty$ до 0.

г) Рассмотрим уравнение $f(x) = 2$ для функции $f(x) = x^4 - 4x^3 + 9$.

$x^4 - 4x^3 + 9 = 2$

$x^4 - 4x^3 + 7 = 0$

Исследуем функцию $f(x) = x^4 - 4x^3 + 9$.

Найдем производную:

$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 9)' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$

Найдем критические точки:

$4x^2(x - 3) = 0 \implies x = 0$ или $x = 3$.

Проанализируем знак производной на интервалах:

• При $x < 3$ (и $x \ne 0$), $f'(x) < 0$ (функция убывает).
• При $x > 3$, $f'(x) > 0$ (функция возрастает).

В точке $x=0$ производная не меняет знак, это точка перегиба, а не экстремум. В точке $x=3$ знак производной меняется с "-" на "+", значит это точка локального минимума.

Найдем значение функции в точке минимума:

$f_{min} = f(3) = 3^4 - 4(3)^3 + 9 = 81 - 4(27) + 9 = 81 - 108 + 9 = -18$.

Это глобальный минимум функции. При $x \to \pm \infty$, $f(x) \to +\infty$.

График функции убывает из $+\infty$ до глобального минимума в точке $(3, -18)$ и затем возрастает до $+\infty$.

Поскольку значение $y=2$ больше глобального минимума ($2 > -18$), прямая $y=2$ пересечет график функции в двух точках: один раз на интервале убывания $(-\infty, 3)$ и один раз на интервале возрастания $(3, +\infty)$.