вопрос 2, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 157). Определите знак:

а) функции $f(x)$;

б) производной функции $f'(x)$ в отмеченных на графике точках.

Рис. 157

Для определения знаков функции и ее производной в отмеченных точках необходимо проанализировать предоставленный график $y=f(x)$.

На графике отмечены три точки с абсциссами: $x_1 = -2.5 = -2\frac{1}{2}$, $x_2 = 0.5 = \frac{1}{2}$ и $x_3 = 2$.

Знак функции $f(x)$ в точке определяется положением графика относительно оси абсцисс ($Ox$). Если график находится выше оси $Ox$, то значение функции в этой точке положительно ($f(x) > 0$). Если ниже — отрицательно ($f(x) < 0$).

• В точке с абсциссой $x = -2\frac{1}{2}$ график расположен выше оси $Ox$, так как ордината точки $y = 1$. Следовательно, знак $f(-2\frac{1}{2})$ — плюс.
• В точке с абсциссой $x = \frac{1}{2}$ график также расположен выше оси $Ox$, так как ордината точки $y = 1$. Следовательно, знак $f(\frac{1}{2})$ — плюс.
• В точке с абсциссой $x = 2$ график расположен ниже оси $Ox$, так как ордината точки $y = -1$. Следовательно, знак $f(2)$ — минус.

Ответ: в точках $x=-2\frac{1}{2}$ и $x=\frac{1}{2}$ функция положительна, а в точке $x=2$ — отрицательна.

Знак производной $f'(x)$ в точке определяется поведением функции в окрестности этой точки. Если функция возрастает (график идет вверх), производная положительна ($f'(x)>0$). Если функция убывает (график идет вниз), производная отрицательна ($f'(x)<0$). В точках локального экстремума (максимума или минимума) производная равна нулю ($f'(x)=0$).

• В точке с абсциссой $x = -2\frac{1}{2}$ функция возрастает, поэтому производная $f'(-2\frac{1}{2})$ имеет знак плюс.
• В точке с абсциссой $x = \frac{1}{2}$ функция убывает, поэтому производная $f'(\frac{1}{2})$ имеет знак минус.
• Точка с абсциссой $x = 2$ является точкой локального минимума функции. В этой точке касательная к графику параллельна оси $Ox$, следовательно, производная $f'(2)$ равна нулю.

Ответ: в точке $x=-2\frac{1}{2}$ производная положительна, в точке $x=\frac{1}{2}$ — отрицательна, а в точке $x=2$ производная равна нулю.