Номер 3.132, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.132. Из графиков функций, изображенных на рисунке 158, выберите график функции $f(x) = x^3 - x$.

а) б) в) г) Рис. 158

Для того чтобы выбрать правильный график для функции $f(x) = x^3 - x$, проанализируем её ключевые свойства и сравним их с предложенными вариантами.

1. Нахождение точек пересечения с осями координат

Пересечение с осью OY:
Для нахождения точки пересечения с осью ординат подставим $x=0$ в уравнение функции:$f(0) = 0^3 - 0 = 0$. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Все четыре графика удовлетворяют этому условию.

Пересечение с осью OX (корни функции):
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс решим уравнение $f(x) = 0$:$x^3 - x = 0$Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x(x^2 - 1) = 0$Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$x(x - 1)(x + 1) = 0$Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Следовательно, график функции должен пересекать ось $x$ в трех точках: $-1$, $0$ и $1$.

• График а) пересекает ось $x$ только в точках $0$ и $1$. Этот вариант не подходит.
• График в) также не имеет трех точек пересечения с осью $x$. Этот вариант не подходит.
• Графики б) и г) пересекают ось $x$ в правильных точках: $-1$, $0$ и $1$. Они являются возможными кандидатами.

2. Исследование функции на симметрию

Проверим функцию на четность или нечетность, чтобы определить тип симметрии графика. Найдем $f(-x)$:$f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$. Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O$).

• График б) симметричен относительно начала координат.
• График г) не симметричен относительно начала координат (например, его локальные экстремумы расположены несимметрично относительно точки $O$). Следовательно, этот вариант не подходит.

На данном этапе можно однозначно заключить, что правильным является график б).

3. Нахождение точек экстремума

Для дополнительной проверки найдем локальные максимумы и минимумы функции с помощью первой производной.$f'(x) = (x^3 - x)' = 3x^2 - 1$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти характер экстремумов:

• При $x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$, производная $f'(x) > 0$, значит функция возрастает.
• При $-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$, производная $f'(x) < 0$, значит функция убывает.
• При $x > \frac{1}{\sqrt{3}}$, производная $f'(x) > 0$, значит функция возрастает.

Таким образом, точка $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ является точкой локального максимума, а точка $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ — точкой локального минимума.

• На графике б) мы видим, что локальный максимум находится в левой полуплоскости (при $x < 0$), а локальный минимум — в правой (при $x > 0$), что полностью соответствует результатам анализа.
• На графике г) и максимум, и минимум находятся в левой полуплоскости (при $x < 0$), что противоречит нашим расчетам.

Вывод

Всесторонний анализ функции показывает, что ее график имеет три корня в точках -1, 0, 1, симметричен относительно начала координат и имеет локальный максимум при $x < 0$ и локальный минимум при $x > 0$. Этим условиям удовлетворяет только один из предложенных графиков.

Ответ: б) График, изображенный под буквой б.