Номер 3.135, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.135. Исследуйте функцию, постройте ее график и найдите количество корней уравнения $f(x)=-5$, если:

а) $f(x)=(x-1)^2(x+1)$;

б) $f(x)=4x^2(x-2)^2$.

а) Исследуем функцию $f(x) = (x - 1)^2(x + 1)$.

1. Область определения.
   Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Нули функции и пересечение с осями координат.
   Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
   $(x - 1)^2(x + 1) = 0$
   Корни: $x = 1$ (корень кратности 2, график касается оси Ox) и $x = -1$ (корень кратности 1, график пересекает ось Ox).
   Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $f(0) = (0 - 1)^2(0 + 1) = 1$. Точка $(0, 1)$.
3. Четность и нечетность.
   $f(-x) = (-x - 1)^2(-x + 1) = (x + 1)^2(1 - x) = -(x+1)^2(x-1)$.
   Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
4. Производная, интервалы монотонности и экстремумы.
   Для удобства дифференцирования раскроем скобки: $f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x + 1) = x^3 - x^2 - x + 1$.
   Найдем первую производную: $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$.
   Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$: $3x^2 - 2x - 1 = 0$.
   Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1/3$.
   Исследуем знак производной на интервалах:
   • При $x \in (-\infty; -1/3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   • При $x \in (-1/3; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   В точке $x = -1/3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $f(-1/3) = (-1/3 - 1)^2(-1/3 + 1) = (-4/3)^2(2/3) = \frac{16}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{27} = \textbf{1}\frac{5}{27}$.
   В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $f(1) = (1 - 1)^2(1 + 1) = 0$.
5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.
   Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 2x - 1)' = 6x - 2$.
   Найдем точки перегиба из условия $f''(x) = 0$: $6x - 2 = 0 \implies x = 1/3$.
   • При $x < 1/3$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
   • При $x > 1/3$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
   Точка $x = 1/3$ является точкой перегиба. $f(1/3) = (1/3 - 1)^2(1/3 + 1) = (-2/3)^2(4/3) = \frac{16}{27}$.

Построение графика.
На основе проведенного исследования строим график функции. График выходит из $-\infty$, пересекает ось Ox в точке $(-1, 0)$, возрастает до точки локального максимума $(-1/3, \textbf{1}\frac{5}{27})$. Затем убывает, пересекая ось Oy в точке $(0, 1)$ и проходя через точку перегиба $(1/3, \frac{16}{27})$, достигает точки локального минимума $(1, 0)$, где касается оси Ox. После этого график снова возрастает до $+\infty$.

Нахождение количества корней уравнения $f(x) = -5$.
Количество корней уравнения $f(x) = -5$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y = -5$.
Локальный минимум функции равен 0 в точке $x=1$. Для всех $x \ge -1$ значения функции $f(x) \ge 0$. Следовательно, на промежутке $[-1, +\infty)$ корней нет.
На промежутке $(-\infty, -1)$ функция монотонно возрастает от $-\infty$ до $f(-1)=0$. Так как значение $-5$ лежит в этом диапазоне, по теореме о промежуточном значении, на этом интервале существует ровно один корень.
Таким образом, уравнение $f(x) = -5$ имеет один действительный корень.

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

б) Исследуем функцию $f(x) = 4x^2(x - 2)^2$.

1. Область определения и основные свойства.
   Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
   Так как $f(x) = [2x(x - 2)]^2$, функция неотрицательна для всех $x$, то есть $f(x) \ge 0$.
2. Нули функции и пересечение с осями координат.
   $f(x) = 0 \implies 4x^2(x - 2)^2 = 0$.
   Корни: $x = 0$ и $x = 2$. Оба корня имеют кратность 2, поэтому график касается оси Ox в этих точках. Точка $(0, 0)$ является и нулем функции, и точкой пересечения с осью Oy.
3. Симметрия.
   Проверим симметрию относительно прямой $x=1$:
   $f(1+h) = 4(1+h)^2(1+h-2)^2 = 4(1+h)^2(h-1)^2 = 4[(h+1)(h-1)]^2 = 4(h^2-1)^2$.
   $f(1-h) = 4(1-h)^2(1-h-2)^2 = 4(1-h)^2(-h-1)^2 = 4[(1-h)(h+1)]^2 = 4(1-h^2)^2 = 4(h^2-1)^2$.
   Так как $f(1+h)=f(1-h)$, график функции симметричен относительно вертикальной прямой $x=1$.
4. Производная, интервалы монотонности и экстремумы.
   Представим функцию в виде $f(x) = 4(x^2 - 2x)^2$. Найдем первую производную: $f'(x) = 4 \cdot 2(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) = 16(x^2-2x)(x-1) = 16x(x-2)(x-1)$.
   Критические точки: $x=0$, $x=1$, $x=2$.
   Исследуем знак производной:
   • При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (0; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   • При $x \in (1; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   Точки $x=0$ и $x=2$ — точки локального минимума. $f(0) = 0$, $f(2) = 0$.
   Точка $x=1$ — точка локального максимума. $f(1) = 4(1)^2(1-2)^2 = 4$.
5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.
   Раскроем $f(x) = 4x^4 - 16x^3 + 16x^2$. $f'(x) = 16x^3 - 48x^2 + 32x$. $f''(x) = 48x^2 - 96x + 32 = 16(3x^2 - 6x + 2)$.
   Найдем точки перегиба из $f''(x) = 0$: $3x^2 - 6x + 2 = 0$.
   Корни $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{12}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение функции в точках перегиба: $f(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = [2(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3})(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} - 2)]^2 = [2(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3})(-1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3})]^2 = [2(-1 + \frac{1}{3})]^2 = [2(-\frac{2}{3})]^2 = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9} = \textbf{1}\frac{7}{9}$.

Построение графика.
График функции имеет W-образную форму, симметричную относительно прямой $x=1$. Он убывает из $+\infty$ до точки минимума $(0, 0)$, где касается оси Ox. Затем возрастает до локального максимума в точке $(1, 4)$. Далее симметрично убывает до второго минимума в точке $(2, 0)$, также касаясь оси, и снова возрастает в $+\infty$.

Нахождение количества корней уравнения $f(x) = -5$.
Как было установлено, функция $f(x)$ неотрицательна, то есть $f(x) \ge 0$ для любых действительных $x$. Ее наименьшее значение равно 0.
Уравнение $f(x) = -5$ не имеет решений, так как его левая часть всегда неотрицательна, а правая — отрицательна. График функции $y=f(x)$ целиком расположен в верхней полуплоскости и на оси абсцисс, в то время как прямая $y=-5$ проходит в нижней полуплоскости, поэтому они не пересекаются.

Ответ: уравнение не имеет корней (0 корней).