Номер 3.140, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.140. Определите, сколько общих точек имеет прямая $y = -1$ и график функции $f(x) = x^6 - 3x^4 - 9x^2$.

Для того чтобы определить количество общих точек прямой $y = -1$ и графика функции $f(x) = x^6 - 3x^4 - 9x^2$, необходимо найти количество действительных корней уравнения $f(x) = -1$.

Запишем уравнение:$$x^6 - 3x^4 - 9x^2 = -1$$

Для нахождения количества решений, не решая уравнение напрямую, исследуем поведение функции $f(x)$ с помощью производной. Это позволит нам найти её точки экстремума (локальные максимумы и минимумы) и схематически представить график.

1. Найдем производную функции $f(x)$:$$f'(x) = (x^6 - 3x^4 - 9x^2)' = 6x^5 - 12x^3 - 18x$$

2. Найдем критические точки, в которых производная равна нулю:$$f'(x) = 0$$$$6x^5 - 12x^3 - 18x = 0$$Вынесем за скобки общий множитель $6x$:$$6x(x^4 - 2x^2 - 3) = 0$$Из этого уравнения следует, что либо $x = 0$, либо $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$. Решим биквадратное уравнение $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$. Для этого сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$:$$t^2 - 2t - 3 = 0$$По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни квадратного уравнения:$t_1 = 3$ и $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним. Возвращаемся к переменной $x$ с единственным подходящим значением $t=3$:$$x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$$Таким образом, функция $f(x)$ имеет три критические точки: $x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = 0$ и $x_3 = \sqrt{3}$.

3. Определим значения функции в критических точках, чтобы найти экстремумы:

• При $x=0$: $$f(0) = 0^6 - 3(0)^4 - 9(0)^2 = 0$$
• При $x=\sqrt{3}$: $$f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^6 - 3(\sqrt{3})^4 - 9(\sqrt{3})^2 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 = 27 - 27 - 27 = -27$$
• При $x=-\sqrt{3}$: Так как функция $f(x)$ является чётной (все степени переменной $x$ чётные), её график симметричен относительно оси OY. Следовательно, $f(-\sqrt{3}) = f(\sqrt{3}) = -27$.

• $x = 0$ — точка локального максимума, значение в которой $f(0) = 0$.
• $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$ — точки локальных минимумов, значения в которых $f(\pm\sqrt{3}) = -27$.

4. Сделаем вывод о количестве пересечений. Мы ищем количество точек пересечения графика функции $y=f(x)$ и горизонтальной прямой $y = -1$.

• Максимальное значение функции (локальное) равно $0$.
• Минимальные значения функции (локальные) равны $-27$.

Поскольку значение $y=-1$ находится строго между локальным максимумом ($0$) и локальными минимумами ($-27$), график функции пересечет эту прямую четыре раза:

1. При убывании от $+\infty$ до минимума в $y=-27$.
2. При возрастании от минимума $y=-27$ до максимума в $y=0$.
3. При убывании от максимума $y=0$ до второго минимума в $y=-27$.
4. При возрастании от второго минимума $y=-27$ до $+\infty$.

Следовательно, прямая $y = -1$ и график функции $f(x)$ имеют четыре общие точки.