Номер 3.143, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.143. Из графиков функций, изображенных на рисунке 159, выберите график функции $f(x) = -x^3 - x^2 + x$.

Для того чтобы выбрать правильный график для функции $f(x) = -x^3 - x^2 + x$, необходимо провести ее полное исследование. Проанализируем ключевые свойства функции, которые помогут однозначно определить ее график.

Поведение функции на бесконечности

Функция $f(x) = -x^3 - x^2 + x$ является кубическим многочленом. Ее поведение на бесконечности определяется старшим членом $-x^3$. Так как коэффициент при старшей степени отрицательный ($-1$), а степень нечетная (3), то:

• при $x \to +\infty$ значение $f(x) \to -\infty$ (график уходит вправо и вниз).
• при $x \to -\infty$ значение $f(x) \to +\infty$ (график уходит влево и вверх).

Ответ: График функции уходит вверх при $x \to -\infty$ и уходит вниз при $x \to +\infty$.

Точки пересечения с осями координат

Найдем точки, в которых график пересекает оси $Ox$ и $Oy$.

Пересечение с осью Oy:
Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:
$f(0) = -0^3 - 0^2 + 0 = 0$.
Таким образом, график проходит через начало координат — точку $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox:
Для этого нужно решить уравнение $f(x) = 0$:
$-x^3 - x^2 + x = 0$
$-x(x^2 + x - 1) = 0$
Из этого уравнения получаем три корня:
1) $x_1 = 0$
2) $x^2 + x - 1 = 0$. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5$.
$x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Приблизительные значения корней: $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.62$ и $x_3 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.62$.

Ответ: График пересекает оси координат в трех точках: $(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, 0)$, $(0, 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, 0)$.

Точки экстремума функции

Для нахождения точек локального максимума и минимума найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (-x^3 - x^2 + x)' = -3x^2 - 2x + 1$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$-3x^2 - 2x + 1 = 0$
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Критические точки:
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1/3)$, $(1/3, +\infty)$. График производной $y = -3x^2 - 2x + 1$ — это парабола с ветвями вниз, поэтому знаки будут "минус, плюс, минус".

• На интервале $(-\infty, -1)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(-1, 1/3)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1/3, +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

Следовательно, точка $x = -1$ — точка локального минимума, а точка $x = 1/3$ — точка локального максимума.
Найдем значения функции в этих точках:
Минимум: $f_{min} = f(-1) = -(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 - 1 = -1$. Точка минимума: $(-1, -1)$.
Максимум: $f_{max} = f(\frac{1}{3}) = -(\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} = \frac{5}{27}$. Точка максимума: $(\frac{1}{3}, \frac{5}{27})$.

Ответ: Функция имеет локальный минимум в точке $(-1, -1)$ и локальный максимум в точке $(\frac{1}{3}, \frac{5}{27})$.

Вывод

Основываясь на проведенном анализе, искомый график функции $f(x) = -x^3 - x^2 + x$ должен обладать следующими свойствами:

1. Проходит через начало координат $(0, 0)$.
2. Пересекает ось абсцисс ($Ox$) еще в двух точках: $x \approx -1.62$ и $x \approx 0.62$.
3. Имеет точку локального минимума $(-1, -1)$.
4. Имеет точку локального максимума $(\frac{1}{3}, \frac{5}{27})$, что примерно равно $(0.33, 0.19)$.
5. Уходит на $+\infty$ при $x \to -\infty$ и на $-\infty$ при $x \to +\infty$.

Среди графиков на рисунке 159 необходимо найти тот, который соответствует всем перечисленным характеристикам.

Ответ: Выберите график, который имеет локальный минимум в точке $(-1, -1)$, локальный максимум в первой координатной четверти в точке $(\frac{1}{3}, \frac{5}{27})$, и пересекает ось $x$ в трех точках, одна из которых — начало координат.