вопрос 1, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Если функция имеет на отрезке точку максимума, то эта функция:

а) принимает наибольшее значение в этой точке;

б) принимает наибольшее значение на одном из концов отрезка;

в) не принимает наибольшего значения;

г) принимает наибольшее значение на конце отрезка или в точке максимума. Выберите правильный ответ.

Для решения этой задачи необходимо понимать разницу между понятиями "точка максимума" (локальный максимум) и "наибольшее значение функции на отрезке" (глобальный максимум), а также знать, как находить наибольшее значение функции на отрезке.

Точка максимума — это точка, в которой значение функции больше, чем в любой другой точке из её непосредственной окрестности. На графике это локальная "вершина".

Наибольшее значение функции на отрезке — это самое большое значение, которое функция принимает на всём заданном отрезке.

Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция всегда достигает своего наибольшего значения. Это значение находится путём сравнения значений функции в точках локального максимума внутри отрезка и на его концах.

Проанализируем предложенные варианты:

а) принимает наибольшее значение в этой точке;
Это не всегда так. Значение функции на одном из концов отрезка может быть больше, чем в точке локального максимума.
Например, рассмотрим функцию $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ на отрезке $[0, 3]$. Её производная $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)$. Точка $x=1$ является точкой локального максимума, и $f(1) = 5$. Однако на конце отрезка в точке $x=3$ значение функции $f(3) = 2(27) - 9(9) + 12(3) = 54 - 81 + 36 = 9$. Так как $9 > 5$, наибольшее значение на отрезке достигается на его конце, а не в точке максимума.
Ответ: Неверно.

б) принимает наибольшее значение на одном из концов отрезка;
Это также не всегда верно. Наибольшее значение может достигаться и внутри отрезка, в точке локального максимума.
Например, для функции $f(x) = -x^2 + 4x$ на отрезке $[0, 4]$. Точка максимума $x=2$, и значение в ней $f(2) = 4$. На концах отрезка значения $f(0) = 0$ и $f(4) = 0$. В этом случае наибольшее значение достигается именно в точке максимума, а не на концах.
Ответ: Неверно.

в) не принимает наибольшего значения;
Это утверждение ложно. Согласно теореме Вейерштрасса, любая функция, непрерывная на замкнутом отрезке, обязательно достигает на нём своего наибольшего значения.
Ответ: Неверно.

г) принимает наибольшее значение на конце отрезка или в точке максимума.
Это правильное утверждение. Алгоритм нахождения наибольшего значения функции на отрезке как раз и заключается в том, чтобы сравнить значения функции во всех точках локального максимума (и других критических точках) внутри отрезка и на его границах. Наибольшее из этих значений и будет искомым. Таким образом, наибольшее значение всегда находится либо в точке локального максимума, либо на одном из концов отрезка.
Ответ: Верно.