вопрос 2, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Если функция имеет на отрезке точку минимума, то эта функция:

а) принимает наименьшее значение в этой точке;

б) принимает наименьшее значение на одном из концов отрезка;

в) не принимает наименьшего значения;

г) принимает наименьшее значение на конце отрезка или в точке минимума.

Выберите правильный ответ.

Для решения этой задачи необходимо разобраться в различии между понятиями "точка минимума" (локальный минимум) и "наименьшее значение функции на отрезке" (глобальный минимум).

• Точка минимума (или локальный минимум) — это точка $x_0$, в которой значение функции меньше, чем в любой другой точке из некоторой её окрестности. То есть, $f(x) \ge f(x_0)$ для всех $x$ близких к $x_0$.
• Наименьшее значение функции на отрезке — это самое маленькое значение, которое функция принимает на всём заданном отрезке.

Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция всегда достигает своего наименьшего значения. Это наименьшее значение может быть достигнуто либо в точках локального минимума, находящихся внутри отрезка, либо на его концах (в точках $a$ и $b$).

Рассмотрим предложенные варианты ответа:

а) принимает наименьшее значение в этой точке;
Это утверждение не всегда верно. Функция может иметь локальный минимум, но глобальный минимум на отрезке может находиться на одном из его концов. Например, для функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ на отрезке $[0, 3]$ точка локального минимума — $x=2$, и значение в ней $f(2)=4$. Однако, на левом конце отрезка $f(0)=0$, что меньше. Таким образом, наименьшее значение функции на этом отрезке равно 0, а не 4.
Ответ: неверно.

б) принимает наименьшее значение на одном из концов отрезка;
Это утверждение также не всегда верно. Наименьшее значение может достигаться именно в точке локального минимума, которая находится внутри отрезка. Например, для функции $f(x) = x^2$ на отрезке $[-1, 1]$, точка минимума $x=0$ находится внутри отрезка. Значение в ней $f(0)=0$. На концах отрезка значения $f(-1)=1$ и $f(1)=1$. Наименьшее значение — 0, и оно достигается не на концах.
Ответ: неверно.

в) не принимает наименьшего значения;
Это утверждение противоречит теореме Вейерштрасса для непрерывных функций на замкнутом отрезке.
Ответ: неверно.

г) принимает наименьшее значение на конце отрезка или в точке минимума.
Это утверждение верно. Алгоритм нахождения наименьшего значения непрерывной функции на отрезке как раз и заключается в том, чтобы найти все точки локального минимума, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем выбрать наименьшее из всех полученных значений. Следовательно, наименьшее значение всегда будет либо в одной из точек локального минимума, либо на одном из концов отрезка.
Ответ: верно.

Правильный ответ — г).