Номер 3.154, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.154. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ на отрезке:

а) $[-2; 0]$;

б) $[-1; 1]$;

в) $[-2; 4]$;

г) $[-3; -2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.
3. Отобрать критические точки, которые принадлежат данному отрезку.
4. Вычислить значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения: наибольшее из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

Дана функция $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 1)' = 4x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки функции: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$.

а) [-2; 0]

В данный отрезок попадают критические точки $x = -1$ и $x = 0$. Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• $f(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 1 = 16 - 8 + 1 = 9$
• $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$
• $f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 1$

Сравнивая полученные значения {9, 0, 1}, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение: 9. Наименьшее значение: 0.

б) [-1; 1]

В данный отрезок попадают все три критические точки: $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Концы отрезка совпадают с критическими точками. Вычислим значения функции в этих точках:

• $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$
• $f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 1$
• $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

Сравнивая полученные значения {0, 1}, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение: 1. Наименьшее значение: 0.

в) [-2; 4]

В данный отрезок попадают все три критические точки: $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• $f(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 1 = 16 - 8 + 1 = 9$
• $f(-1) = 0$
• $f(0) = 1$
• $f(1) = 0$
• $f(4) = 4^4 - 2(4)^2 + 1 = 256 - 32 + 1 = 225$

Сравнивая полученные значения {9, 0, 1, 225}, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение: 225. Наименьшее значение: 0.

г) [-3; -2]

В данный отрезок не попадает ни одна из критических точек. Это означает, что на этом отрезке функция является монотонной. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -3$ и $x = -2$:

• $f(-3) = (-3)^4 - 2(-3)^2 + 1 = 81 - 18 + 1 = 64$
• $f(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 1 = 16 - 8 + 1 = 9$

Сравнивая полученные значения {64, 9}, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение: 64. Наименьшее значение: 9.