Номер 3.151, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.151. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -2x^2 + 8x - 7$ на отрезках:

а) $[-1; 4];

б) $[-5; 1].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = -2x^2 + 8x - 7$ на заданных отрезках, сначала определим свойства этой функции. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз. Это означает, что свое наибольшее значение на всей числовой прямой функция достигает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.

Значение функции в вершине (максимальное значение функции):
$y_0 = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 7 = -2 \cdot 4 + 16 - 7 = -8 + 16 - 7 = 1$.

Далее, для нахождения наибольшего и наименьшего значения на отрезке, необходимо сравнить значение функции в вершине (если она попадает в отрезок) и значения на концах отрезка.

а) На отрезке $[-1; 4]$.
Абсцисса вершины $x_0 = 2$ принадлежит данному отрезку, так как $-1 \le 2 \le 4$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в вершине.
$f_{наибольшее} = f(2) = 1$.
Для нахождения наименьшего значения, вычислим значения функции на концах отрезка:
$f(-1) = -2(-1)^2 + 8(-1) - 7 = -2 - 8 - 7 = -17$.
$f(4) = -2(4)^2 + 8(4) - 7 = -32 + 32 - 7 = -7$.
Сравнивая значения $f(-1)=-17$ и $f(4)=-7$, находим, что наименьшее значение равно $-17$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $1$, наименьшее значение равно $-17$.

б) На отрезке $[-5; 1]$.
Абсцисса вершины $x_0 = 2$ не принадлежит данному отрезку. Так как отрезок $[-5; 1]$ находится левее вершины ($x < 2$), а ветви параболы направлены вниз, то на этом отрезке функция монотонно возрастает.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
$f_{наименьшее} = f(-5) = -2(-5)^2 + 8(-5) - 7 = -2 \cdot 25 - 40 - 7 = -50 - 40 - 7 = -97$.
$f_{наибольшее} = f(1) = -2(1)^2 + 8(1) - 7 = -2 + 8 - 7 = -1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $-1$, наименьшее значение равно $-97$.