Номер 3.146, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.146. Вычислите:

а) $\frac{16^2 \cdot 3^5}{12^4};$

б) $\frac{8^5 \cdot 3^4}{48^3};$

в) $\frac{15^{10}}{25^4 \cdot 3^9};$

г) $\frac{10^3 \cdot 6^2}{4^4 \cdot 5^4}.$

а) Для вычисления значения выражения разложим основания степеней на простые множители.
$16 = 2^4$
$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Подставим разложенные основания в исходное выражение и применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$ \frac{16^2 \cdot 3^5}{12^4} = \frac{(2^4)^2 \cdot 3^5}{(2^2 \cdot 3)^4} = \frac{2^{4 \cdot 2} \cdot 3^5}{ (2^2)^4 \cdot 3^4} = \frac{2^8 \cdot 3^5}{2^8 \cdot 3^4} $
Теперь сократим дробь, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$ 2^{8-8} \cdot 3^{5-4} = 2^0 \cdot 3^1 = 1 \cdot 3 = 3 $
Ответ: 3.

б) Разложим основания степеней на простые множители.
$8 = 2^3$
$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
Подставим разложенные основания в выражение и воспользуемся свойствами степеней:
$ \frac{8^5 \cdot 3^4}{48^3} = \frac{(2^3)^5 \cdot 3^4}{(2^4 \cdot 3)^3} = \frac{2^{3 \cdot 5} \cdot 3^4}{(2^4)^3 \cdot 3^3} = \frac{2^{15} \cdot 3^4}{2^{12} \cdot 3^3} $
Сократим степени с одинаковыми основаниями:
$ 2^{15-12} \cdot 3^{4-3} = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24 $
Ответ: 24.

в) Разложим основания степеней на простые множители.
$15 = 3 \cdot 5$
$25 = 5^2$
Подставим разложенные основания в выражение:
$ \frac{15^{10}}{25^4 \cdot 3^9} = \frac{(3 \cdot 5)^{10}}{(5^2)^4 \cdot 3^9} = \frac{3^{10} \cdot 5^{10}}{5^{2 \cdot 4} \cdot 3^9} = \frac{3^{10} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 3^9} $
Сократим степени с одинаковыми основаниями:
$ 3^{10-9} \cdot 5^{10-8} = 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75 $
Ответ: 75.

г) Разложим основания степеней на простые множители.
$10 = 2 \cdot 5$
$6 = 2 \cdot 3$
$4 = 2^2$
Подставим разложенные основания в выражение:
$ \frac{10^3 \cdot 6^2}{4^4 \cdot 5^4} = \frac{(2 \cdot 5)^3 \cdot (2 \cdot 3)^2}{(2^2)^4 \cdot 5^4} = \frac{2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2}{2^{2 \cdot 4} \cdot 5^4} = \frac{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3}{2^8 \cdot 5^4} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$ \frac{2^{3+2} \cdot 3^2 \cdot 5^3}{2^8 \cdot 5^4} = \frac{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^3}{2^8 \cdot 5^4} $
Сократим дробь:
$ 2^{5-8} \cdot 3^2 \cdot 5^{3-4} = 2^{-3} \cdot 3^2 \cdot 5^{-1} $
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:
$ \frac{3^2}{2^3 \cdot 5^1} = \frac{9}{8 \cdot 5} = \frac{9}{40} $
Ответ: $\frac{9}{40}$.