Номер 3.144, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.144. Докажите тождество

$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\alpha.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы синуса суммы и косинуса разности.

Формула синуса суммы: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Формула косинуса разности: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$.

1. Применим формулу синуса суммы к выражению $sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{6})sin(\alpha)$

Зная значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{6}$: $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

2. Теперь применим формулу косинуса разности к выражению $cos(\alpha - \frac{2\pi}{3})$:

$cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = cos(\alpha)cos(\frac{2\pi}{3}) + sin(\alpha)sin(\frac{2\pi}{3})$

Найдем значения косинуса и синуса для угла $\frac{2\pi}{3}$ с помощью формул приведения:

$cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$sin(\frac{2\pi}{3}) = sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = cos(\alpha) \cdot (-\frac{1}{2}) + sin(\alpha) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)$

3. Подставим полученные выражения для первого и второго слагаемых в левую часть исходного тождества:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = (\frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)) - (-\frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha) + \frac{1}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha) = (\frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}cos(\alpha)) + (\frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\alpha)) = cos(\alpha) + 0 = cos(\alpha)$

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна его правой части:

$cos(\alpha) = cos(\alpha)$

Следовательно, тождество доказано.

Тождество $sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - cos(\alpha - \frac{2\pi}{3}) = cos(\alpha)$ доказано.