Номер 3.147, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.147. Сократите дробь:

а) $ \frac{7x^2 - 6x - 1}{7x + 1} $;

б) $ \frac{1 - 4x^2}{2x^2 - 5x - 3} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{7x^2 - 6x - 1}{7x + 1}$, разложим числитель на множители. Числитель представляет собой квадратный трехчлен $7x^2 - 6x - 1$.

Для разложения на множители найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 - 6x - 1 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{6 + 8}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$
$x_2 = \frac{6 - 8}{2 \cdot 7} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Теперь можем разложить квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$7x^2 - 6x - 1 = 7(x - 1)(x - (-\frac{1}{7})) = 7(x - 1)(x + \frac{1}{7}) = (x - 1)(7x + 1)$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь и сократим:
$\frac{7x^2 - 6x - 1}{7x + 1} = \frac{(x - 1)(7x + 1)}{7x + 1} = x - 1$ (при условии, что $7x + 1 \neq 0$, т.е. $x \neq -\frac{1}{7}$).

Исходная дробь является неправильной, так как степень многочлена в числителе (2) больше степени многочлена в знаменателе (1). Результатом сокращения является многочлен $x-1$, который представляет собой целую часть.

Ответ: $x-1$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{1 - 4x^2}{2x^2 - 5x - 3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $1 - 4x^2$ является разностью квадратов $1^2 - (2x)^2$:
$1 - 4x^2 = (1 - 2x)(1 + 2x)$.

Знаменатель $2x^2 - 5x - 3$ является квадратным трехчленом. Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Разложим знаменатель на множители:
$2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x - (-\frac{1}{2})) = 2(x - 3)(x + \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x + 1)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь:
$\frac{1 - 4x^2}{2x^2 - 5x - 3} = \frac{(1 - 2x)(1 + 2x)}{(x - 3)(2x + 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(1 + 2x) = (2x + 1)$ (при условии $x \neq -\frac{1}{2}$):
$\frac{1 - 2x}{x - 3}$.

Полученная дробь является неправильной, так как степень числителя (1) равна степени знаменателя (1). Выделим целую часть. Для этого можно выполнить деление многочленов или преобразовать выражение:
$\frac{1 - 2x}{x - 3} = \frac{-2x + 1}{x - 3} = \frac{-2x + 6 - 5}{x - 3} = \frac{-2(x - 3) - 5}{x - 3} = \frac{-2(x-3)}{x-3} - \frac{5}{x-3} = -2 - \frac{5}{x-3}$.

Целая часть равна -2.

Ответ: $-2 - \frac{5}{x-3}$