Номер 3.145, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.145. Решите уравнение:

а) $\sqrt{x} = x - 2;$

б) $\sqrt{x^2 + x - 1} = \sqrt{x}.$

а) $\sqrt{x} = x - 2$

Для решения иррационального уравнения необходимо найти его область допустимых значений (ОДЗ) и затем возвести обе части в квадрат.

ОДЗ определяется двумя условиями:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Правая часть уравнения, которая равна значению арифметического квадратного корня, также должна быть неотрицательной: $x - 2 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 2$.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 2$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$

$x = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - x + 4 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 4$

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 2$).

• Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, поэтому он является посторонним корнем.
• Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 2$, следовательно, это решение уравнения.

Ответ: 4.

б) $\sqrt{x^2 + x - 1} = \sqrt{x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 + x - 1 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Для решения первого неравенства $x^2 + x - 1 \ge 0$ найдем корни уравнения $x^2 + x - 1 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 1$ направлены вверх, неравенство $x^2 + x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \le \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ или $x \ge \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь объединим это решение с условием $x \ge 0$. Так как $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < 0$, а $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} > 0$, то общая ОДЗ будет:

$x \ge \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь решаем само уравнение. Поскольку обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + x - 1})^2 = (\sqrt{x})^2$

$x^2 + x - 1 = x$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$x^2 - 1 = 0$

Это уравнение раскладывается на множители:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ ($x \ge \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$).

Приблизительное значение $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx 0.618$.

• Корень $x_1 = 1$. Так как $1 > 0.618$, этот корень удовлетворяет ОДЗ.
• Корень $x_2 = -1$. Так как $-1 < 0.618$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 1.