Номер 3.138, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.138. Используйте алгоритм исследования графика функции с помощью производной и постройте график функции:

a) $f(x) = x^3 - 3x;$

б) $f(x) = 9x - x^3.$

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения функции.

   Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
   $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции.

   Найдем $f(-x)$:
   $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$.
   Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).

3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy (при x=0): $f(0) = 0^3 - 3(0) = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.
   • С осью Ox (при y=0): $f(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0$.
     Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$.
     Точки пересечения: $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.
4. Асимптоты.

   Так как функция является многочленом, вертикальные асимптоты отсутствуют.
   Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx + b$.
   $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 3) = +\infty$.
   Так как предел не является конечным числом, наклонных (и, следовательно, горизонтальных) асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   Найдем первую производную:
   $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.
   Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
   $f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
   Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.

   • Интервал $(-\infty, -1)$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает.
   • Интервал $(-1, 1)$: $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$. Функция убывает.
   • Интервал $(1, +\infty)$: $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает.

   В точке $x = -1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума.
   $y_{max} = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. Точка максимума: $(-1, 2)$.
   В точке $x = 1$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума.
   $y_{min} = f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. Точка минимума: $(1, -2)$.

6. Промежутки выпуклости, точки перегиба.

   Найдем вторую производную:
   $f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x$.
   Найдем точки, где вторая производная равна нулю:
   $f''(x) = 0 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x = 0$.
   Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

   • Интервал $(-\infty, 0)$: $f''(x) < 0$. График функции выпуклый вверх.
   • Интервал $(0, +\infty)$: $f''(x) > 0$. График функции выпуклый вниз.

   В точке $x = 0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
   $f(0) = 0$. Точка перегиба: $(0, 0)$.

7. Построение графика.

   На основе полученных данных можно построить график. Ключевые точки для построения:
   - Пересечение с осями: $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.
   - Экстремумы: точка максимума $(-1, 2)$, точка минимума $(1, -2)$.
   - Точка перегиба: $(0, 0)$.
   График симметричен относительно начала координат, возрастает на $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(-1, 1)$.

Ответ: Функция $f(x) = x^3 - 3x$ является нечетной. Точки пересечения с осями координат: $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$, убывает на интервале $(-1, 1)$. Точка локального максимума $(-1, 2)$, точка локального минимума $(1, -2)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, \infty)$. Точка перегиба - $(0, 0)$.

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения функции.

   Функция является многочленом, область определения - все действительные числа.
   $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции.

   Найдем $f(-x)$:
   $f(-x) = 9(-x) - (-x)^3 = -9x + x^3 = -(9x - x^3) = -f(x)$.
   Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат (0, 0).

3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy (при x=0): $f(0) = 9(0) - 0^3 = 0$. Точка пересечения: (0, 0).
   • С осью Ox (при y=0): $f(x) = 0 \Rightarrow 9x - x^3 = 0 \Rightarrow x(9 - x^2) = 0$.
     Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$.
     Точки пересечения: $(-3, 0)$, $(0, 0)$, $(3, 0)$.
4. Асимптоты.

   Функция является многочленом, поэтому вертикальные асимптоты отсутствуют.
   Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx + b$.
   $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{9x - x^3}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (9 - x^2) = -\infty$.
   Наклонных (и, следовательно, горизонтальных) асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   Найдем первую производную:
   $f'(x) = (9x - x^3)' = 9 - 3x^2$.
   Найдем критические точки:
   $f'(x) = 0 \Rightarrow 9 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$.
   Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $(\sqrt{3}, +\infty)$.

   • Интервал $(-\infty, -\sqrt{3})$: $f'(-2) = 9 - 3(-2)^2 = -3 < 0$. Функция убывает.
   • Интервал $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$: $f'(0) = 9 - 3(0)^2 = 9 > 0$. Функция возрастает.
   • Интервал $(\sqrt{3}, +\infty)$: $f'(2) = 9 - 3(2)^2 = -3 < 0$. Функция убывает.

   В точке $x = -\sqrt{3}$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка локального минимума.
   $y_{min} = f(-\sqrt{3}) = 9(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})^3 = -9\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$. Точка минимума: $(-\sqrt{3}, -6\sqrt{3})$.
   В точке $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума.
   $y_{max} = f(\sqrt{3}) = 9(\sqrt{3}) - (\sqrt{3})^3 = 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$. Точка максимума: $(\sqrt{3}, 6\sqrt{3})$.

6. Промежутки выпуклости, точки перегиба.

   Найдем вторую производную:
   $f''(x) = (9 - 3x^2)' = -6x$.
   Найдем точки, где $f''(x) = 0$:
   $-6x = 0 \Rightarrow x = 0$.
   Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

   • Интервал $(-\infty, 0)$: $f''(x) > 0$. График функции выпуклый вниз.
   • Интервал $(0, +\infty)$: $f''(x) < 0$. График функции выпуклый вверх.

   В точке $x = 0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
   $f(0) = 0$. Точка перегиба: $(0, 0)$.

7. Построение графика.

   На основе полученных данных можно построить график. Ключевые точки для построения:
   - Пересечение с осями: $(-3, 0)$, $(0, 0)$, $(3, 0)$.
   - Экстремумы: точка минимума $(-\sqrt{3}, -6\sqrt{3})$, точка максимума $(\sqrt{3}, 6\sqrt{3})$.
   - Точка перегиба: $(0, 0)$.
   График симметричен относительно начала координат, убывает на $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$ и возрастает на $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Ответ: Функция $f(x) = 9x - x^3$ является нечетной. Точки пересечения с осями координат: $(-3, 0)$, $(0, 0)$, $(3, 0)$. Функция убывает на интервалах $(-\infty, -\sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}, \infty)$, возрастает на интервале $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$. Точка локального минимума $(-\sqrt{3}, -6\sqrt{3})$, точка локального максимума $(\sqrt{3}, 6\sqrt{3})$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вверх на $(0, \infty)$. Точка перегиба - $(0, 0)$.