Номер 3.137, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.137. Из графиков функций, изображенных на рисунке 159, выберите график функции $f(x) = x^3 - x^2 - x$.

а) б) в) г) Рис. 159

Для того чтобы выбрать правильный график для функции $f(x) = x^3 - x^2 - x$, необходимо провести ее полный анализ: найти точки пересечения с осями координат и точки экстремума, а затем сравнить полученные результаты с предложенными графиками.

Анализ функции

1. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   • С осью Oy (y-intercept): подставляем $x=0$ в уравнение функции.
     $f(0) = 0^3 - 0^2 - 0 = 0$.
     График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
   • С осью Ox (x-intercepts): решаем уравнение $f(x)=0$.
     $x^3 - x^2 - x = 0$
     $x(x^2 - x - 1) = 0$
     Один из корней $x_1 = 0$. Другие два найдем из квадратного уравнения $x^2 - x - 1 = 0$:
     $x_{2,3} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
     Приблизительные значения корней: $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.62$ и $x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.62$.
     Итак, график пересекает ось Ox в точках $x \approx -0.62$, $x=0$ и $x \approx 1.62$.
2. Нахождение точек экстремума (максимумов и минимумов).
   • Найдем первую производную функции: $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$.
   • Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
     $3x^2 - 2x - 1 = 0$
     $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$.
     Критические точки: $x_{max} = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$ и $x_{min} = \frac{2+4}{6} = 1$.
   • Определим тип экстремумов с помощью знака второй производной $f''(x) = 6x - 2$:
     $f''(1) = 6(1) - 2 = 4 > 0$, следовательно, при $x=1$ — точка минимума.
     $f''(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3}) - 2 = -4 < 0$, следовательно, при $x=-\frac{1}{3}$ — точка максимума.
   • Найдем значения функции в точках экстремума:
     Минимум: $f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = -1$. Координаты: $(1, -1)$.
     Максимум: $f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} = \frac{5}{27}$. Координаты: $(-\frac{1}{3}, \frac{5}{27})$.

Сравнение с графиками

а) На графике точки пересечения с осью Ox находятся в 0, между -1 и 0 (соответствует $x \approx -0.62$), и правее 1 (соответствует $x \approx 1.62$). Точка минимума имеет координаты $(1, -1)$, а точка максимума расположена при $x = -1/3$. Все свойства функции полностью соответствуют данному графику. Ответ: Верный график.

б) На графике положительная точка пересечения с осью Ox находится между 0 и 1, что не соответствует $x \approx 1.62$. Кроме того, максимум функции находится при $x>0$, а минимум — при $x<0$, что противоречит расчетам. Ответ: Неверный график.

в) На графике отрицательная точка пересечения с осью Ox находится левее -1, что не соответствует $x \approx -0.62$. Точка минимума также расположена не в $x=1$. Ответ: Неверный график.

г) На графике, как и в случае б), положительная точка пересечения с осью Ox находится между 0 и 1, а расположение максимума и минимума неверное. Ответ: Неверный график.