Номер 3.153, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.153. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 6x - 7$ на отрезке:

а) $[1; 6];$

б) $[-2; 3];$

в) $[-1; 7];$

г) $[5; 7].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ на замкнутом отрезке необходимо вычислить значения функции на концах этого отрезка и в вершине параболы, если ее абсцисса попадает в данный отрезок. Затем из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Дана функция $f(x) = x^2 - 6x - 7$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, в своей вершине функция достигает глобального минимума.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

Значение функции в этой точке (наименьшее значение функции):

$f(x_0) = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$.

Теперь рассмотрим каждый отрезок отдельно.

Абсцисса вершины $x_0 = 3$ принадлежит отрезку $[1; 6]$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно значению в вершине.

$f_{наим} = f(3) = -16$.

Для нахождения наибольшего значения вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(1) = 1^2 - 6(1) - 7 = 1 - 6 - 7 = -12$.

$f(6) = 6^2 - 6(6) - 7 = 36 - 36 - 7 = -7$.

Сравнивая значения на концах ($-12$ и $-7$) и в вершине ($-16$), получаем, что наибольшее значение на отрезке равно $-7$.

Ответ: наименьшее значение -16, наибольшее значение -7.

Абсцисса вершины $x_0 = 3$ является правым концом отрезка $[-2; 3]$. Это означает, что на данном отрезке функция монотонно убывает. Наименьшее значение достигается в самой правой точке, а наибольшее — в самой левой.

$f_{наим} = f(3) = -16$.

$f_{наиб} = f(-2) = (-2)^2 - 6(-2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9$.

Ответ: наименьшее значение -16, наибольшее значение 9.

Абсцисса вершины $x_0 = 3$ принадлежит отрезку $[-1; 7]$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно значению в вершине.

$f_{наим} = f(3) = -16$.

Для нахождения наибольшего значения вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(-1) = (-1)^2 - 6(-1) - 7 = 1 + 6 - 7 = 0$.

$f(7) = 7^2 - 6(7) - 7 = 49 - 42 - 7 = 0$.

Наибольшее значение на отрезке равно 0.

Ответ: наименьшее значение -16, наибольшее значение 0.

Абсцисса вершины $x_0 = 3$ не принадлежит отрезку $[5; 7]$. Так как весь отрезок находится правее вершины ($x > 3$), функция на этом отрезке монотонно возрастает.

Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

$f_{наим} = f(5) = 5^2 - 6(5) - 7 = 25 - 30 - 7 = -12$.

$f_{наиб} = f(7) = 7^2 - 6(7) - 7 = 49 - 42 - 7 = 0$.

Ответ: наименьшее значение -12, наибольшее значение 0.