Номер 3.159, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.159. Декоративной изгородью длиной 36 м нужно огородить с трех сторон прямоугольную клумбу наибольшей площади. Найдите размеры этой клумбы.

Для решения задачи введем переменные. Пусть стороны прямоугольной клумбы равны $x$ и $y$. Изгородью нужно огородить клумбу с трех сторон, поэтому общая длина изгороди, 36 м, будет равна сумме длин этих трех сторон.

Предположим, что изгородь состоит из двух сторон длиной $x$ и одной стороны длиной $y$. Тогда длина изгороди $L$ выражается формулой:
$L = 2x + y = 36$

Площадь прямоугольной клумбы $S$, которую необходимо сделать наибольшей, вычисляется по формуле:
$S = x \cdot y$

Чтобы найти максимальное значение площади, выразим одну переменную через другую из уравнения для длины изгороди и подставим ее в формулу площади.
Из уравнения $2x + y = 36$ выразим $y$:
$y = 36 - 2x$

Подставим полученное выражение для $y$ в формулу площади. Площадь становится функцией одной переменной $x$:
$S(x) = x \cdot (36 - 2x) = 36x - 2x^2$

Функция $S(x) = -2x^2 + 36x$ является квадратичной. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-2 < 0$). Максимальное значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x_0$ вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находится по формуле:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
В нашем случае $a = -2$ и $b = 36$. Найдем значение $x$, при котором площадь будет максимальной:
$x = -\frac{36}{2 \cdot (-2)} = -\frac{36}{-4} = 9$ м

Теперь, зная значение $x$, найдем длину второй стороны клумбы, $y$:
$y = 36 - 2x = 36 - 2 \cdot 9 = 36 - 18 = 18$ м

Таким образом, чтобы площадь клумбы была наибольшей, ее размеры должны составлять 9 м и 18 м.

Ответ: размеры клумбы 9 м и 18 м.