Номер 3.166, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.166. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=-\frac{8}{x}$ на отрезке $[-4; -1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = -\frac{8}{x}$ на отрезке $[-4; -1]$, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить полученные значения.

1. Нахождение производной функции.

Представим функцию в виде $f(x) = -8x^{-1}$ для удобства дифференцирования. Используя правило дифференцирования степенной функции, находим производную:

$f'(x) = (-8x^{-1})' = -8 \cdot (-1)x^{-1-1} = 8x^{-2} = \frac{8}{x^2}$

2. Поиск критических точек.

Критические точки – это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

• Приравняем производную к нулю: $f'(x) = \frac{8}{x^2} = 0$. Данное уравнение не имеет решений, так как дробь может быть равна нулю только если её числитель равен нулю, а он равен 8.
• Производная $f'(x)$ не существует в точке $x=0$. Однако, эта точка не принадлежит заданному отрезку $[-4; -1]$.

Таким образом, на отрезке $[-4; -1]$ нет критических точек. Это означает, что функция на данном отрезке является монотонной. Так как производная $f'(x) = \frac{8}{x^2}$ всегда положительна для любого $x \neq 0$ (в том числе и для всех $x$ из отрезка $[-4; -1]$), функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом отрезке.

3. Вычисление значений на концах отрезка.

Поскольку функция на отрезке $[-4; -1]$ возрастает, свое наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции в точках $x = -4$ и $x = -1$:

• $f(-4) = -\frac{8}{-4} = 2$
• $f(-1) = -\frac{8}{-1} = 8$

Сравнив полученные значения, делаем вывод.

Наибольшее значение функции: Ответ: 8

Наименьшее значение функции: Ответ: 2