Номер 3.171, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.171. Представьте число 10 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих слагаемых была наименьшей.

Пусть искомые два неотрицательных слагаемых — это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 10:

$x + y = 10$

Отсюда можно выразить одно слагаемое через другое:

$y = 10 - x$

Так как слагаемые должны быть неотрицательными, имеем $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Условие $y \ge 0$ означает $10 - x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 10$. Таким образом, переменная $x$ должна находиться в пределах от 0 до 10, то есть $x \in [0, 10]$.

Нам необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов этих слагаемых. Обозначим эту сумму как $S$:

$S = x^2 + y^2$

Подставим в это выражение $y = 10 - x$, чтобы получить функцию от одной переменной $x$:

$S(x) = x^2 + (10 - x)^2$

Для нахождения минимума раскроем скобки и упростим выражение:

$S(x) = x^2 + 100 - 20x + x^2$

$S(x) = 2x^2 - 20x + 100$

Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Наименьшее значение такая функция достигает в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=2$, $b=-20$.

$x = -\frac{-20}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

Это значение $x=5$ попадает в допустимый интервал $[0, 10]$.

Теперь находим второе слагаемое $y$:

$y = 10 - x = 10 - 5 = 5$

Таким образом, чтобы сумма квадратов была наименьшей, число 10 нужно представить как сумму двух слагаемых: 5 и 5. При этом наименьшая сумма квадратов будет равна $5^2 + 5^2 = 50$.

Ответ: искомые слагаемые 5 и 5.