Номер 3.177, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.177. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

a) $-9$ и $7$;

б) $3\sqrt{7}+1$ и $3\sqrt{7}-1$.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, приведенное квадратное уравнение (у которого коэффициент при $x^2$ равен 1) имеет вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

где коэффициент при $x$ равен сумме корней с противоположным знаком, а свободный член — произведению корней.

а) Даны корни $x_1 = -9$ и $x_2 = 7$.
1. Вычислим сумму корней:
$S = x_1 + x_2 = -9 + 7 = -2$
2. Вычислим произведение корней:
$P = x_1 \cdot x_2 = -9 \cdot 7 = -63$
3. Подставим найденные значения $S$ (сумма) и $P$ (произведение) в формулу $x^2 - Sx + P = 0$ :
$x^2 - (-2)x + (-63) = 0$
В результате получаем уравнение:
$x^2 + 2x - 63 = 0$
Ответ: $x^2 + 2x - 63 = 0$

б) Даны корни $x_1 = 3\sqrt{7} + 1$ и $x_2 = 3\sqrt{7} - 1$.
1. Вычислим сумму корней:
$S = x_1 + x_2 = (3\sqrt{7} + 1) + (3\sqrt{7} - 1) = 3\sqrt{7} + 1 + 3\sqrt{7} - 1 = 6\sqrt{7}$
2. Вычислим произведение корней. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :
$P = x_1 \cdot x_2 = (3\sqrt{7} + 1)(3\sqrt{7} - 1) = (3\sqrt{7})^2 - 1^2 = 9 \cdot (\sqrt{7})^2 - 1 = 9 \cdot 7 - 1 = 63 - 1 = 62$
3. Подставим найденные значения $S$ и $P$ в формулу $x^2 - Sx + P = 0$ :
$x^2 - (6\sqrt{7})x + 62 = 0$
В результате получаем уравнение:
$x^2 - 6\sqrt{7}x + 62 = 0$
Ответ: $x^2 - 6\sqrt{7}x + 62 = 0$