Номер 3.173, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.173. Площадь прямоугольника равна $81 \text{ м}^2$. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника $S$ определяется формулой:

$S = a \cdot b$

Согласно условию задачи, площадь составляет 81 м²:

$a \cdot b = 81$

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

Чтобы найти наименьший возможный периметр, необходимо минимизировать сумму сторон $(a+b)$, при условии что их произведение $a \cdot b$ является постоянной величиной (равной 81).

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для двух положительных чисел $a$ и $b$ оно имеет вид:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Равенство в этом неравенстве достигается только в том случае, когда $a = b$. Именно при достижении равенства сумма $a+b$ принимает свое наименьшее значение.

Подставим в неравенство известное значение произведения $ab=81$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{81}$

$\frac{a+b}{2} \ge 9$

$a+b \ge 18$

Следовательно, минимальное значение суммы сторон $a+b$ равно 18. Это значение достигается, когда стороны равны, то есть $a=b$.

Найдем длины сторон из системы уравнений:

$a \cdot b = 81$

$a = b$

Подставив второе уравнение в первое, получаем:

$a \cdot a = 81 \implies a^2 = 81$

$a = 9$ м (длина стороны не может быть отрицательной).

Таким образом, прямоугольник с наименьшим периметром при заданной площади является квадратом со стороной 9 м.

Теперь вычислим наименьший периметр:

$P_{min} = 2(a + b) = 2(9 + 9) = 2 \cdot 18 = 36$ м.

Ответ: 36