Номер 2, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. С помощью графика функции $y = f(x)$, изображенного на рисунке 164, найдите:

а) значения аргумента, при которых $f'(x) = 0$;

б) значения аргумента, при которых $f'(x) < 0$;

в) значения аргумента, при которых $f'(x) > 0$.

Рис. 164

Для решения данной задачи необходимо использовать геометрический смысл производной. Производная функции $f'(x)$ в точке $x_0$ соответствует тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в этой точке.

• Если производная $f'(x) > 0$, то касательная направлена вверх, и функция $f(x)$ возрастает.
• Если производная $f'(x) < 0$, то касательная направлена вниз, и функция $f(x)$ убывает.
• Если производная $f'(x) = 0$, то касательная горизонтальна. Это происходит в точках локального максимума и минимума функции (точках экстремума).

Рассмотрим график функции $y = f(x)$, представленный на рисунке.

а) значения аргумента, при которых $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точках экстремума. Из графика видно, что функция имеет точку локального максимума ("вершина") при $x = 0$ и точку локального минимума ("впадина") при $x = 2$. В этих точках касательная к графику будет горизонтальной.
Ответ: $x = 0$ и $x = 2$.

б) значения аргумента, при которых $f'(x) < 0$
Производная отрицательна на тех промежутках, где функция $f(x)$ убывает (график идет вниз, если смотреть слева направо). По графику видно, что это происходит на интервале между точкой максимума ($x=0$) и точкой минимума ($x=2$).
Ответ: $x \in (0; 2)$.

в) значения аргумента, при которых $f'(x) > 0$
Производная положительна на тех промежутках, где функция $f(x)$ возрастает (график идет вверх, если смотреть слева направо). На графике есть два таких промежутка:

1. от минус бесконечности до точки максимума при $x=0$;
2. после точки минимума при $x=2$ и до плюс бесконечности.

Эти промежутки можно записать как $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.