Номер 7, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции $f(x)=2x^3-9x^2+12x-8$.

Для того чтобы найти промежутки монотонности и точки экстремума функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

Производная функции $f(x)$ определяет скорость ее изменения. Промежутки, где производная положительна, соответствуют возрастанию функции, а где отрицательна — убыванию.

$f'(x) = (2x^3 - 9x^2 + 12x - 8)'$

$f'(x) = 2 \cdot (x^3)' - 9 \cdot (x^2)' + 12 \cdot (x)' - (8)'$

$f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x + 12 \cdot 1 - 0 = 6x^2 - 18x + 12$

2. Найти критические точки.

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В этих точках функция может менять направление монотонности (с возрастания на убывание или наоборот).

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies 6x^2 - 18x + 12 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 6:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Так как производная $f'(x)$ является многочленом, она существует при всех значениях $x$. Таким образом, единственными критическими точками являются $x=1$ и $x=2$.

3. Определить знаки производной на интервалах.

Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак $f'(x)$ на каждом из них.

• На интервале $(-\infty; 1)$: возьмем пробную точку $x=0$.
  $f'(0) = 6(0)^2 - 18(0) + 12 = 12 > 0$.
  Так как производная положительна, функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.
• На интервале $(1; 2)$: возьмем пробную точку $x=1.5$.
  $f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 18(1.5) + 12 = 6(2.25) - 27 + 12 = 13.5 - 27 + 12 = -1.5 < 0$.
  Так как производная отрицательна, функция $f(x)$ на этом промежутке убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$: возьмем пробную точку $x=3$.
  $f'(3) = 6(3)^2 - 18(3) + 12 = 54 - 54 + 12 = 12 > 0$.
  Так как производная положительна, функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.

4. Найти точки экстремума и значения функции в них.

• В точке $x=1$ знак производной меняется с «+» на «-». Следовательно, это точка максимума.
  Найдем значение функции в этой точке: $y_{max} = f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 8 = 2 - 9 + 12 - 8 = -3$.
• В точке $x=2$ знак производной меняется с «-» на «+». Следовательно, это точка минимума.
  Найдем значение функции в этой точке: $y_{min} = f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 8 = 16 - 36 + 24 - 8 = -4$.

Промежутки монотонности: Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[1; 2]$.

Точки экстремума: Ответ: точка максимума: $x_{max} = 1$, значение функции в этой точке $f(1) = -3$; точка минимума: $x_{min} = 2$, значение функции в этой точке $f(2) = -4$.