Номер 4, страница 276 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Если рулон обоев разрезать наискосок и развернуть его, то край бумаги окажется разрезанным по синусоиде (рис. 167). На этом свойстве основано решение многих практических задач.

$y$

$x$

$-\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

Рис. 167

а) Для нахождения амплитуды, периода и фазы колебания, заданного уравнением $y = 3\sin(2x - 1)$, сравним его с общей формой гармонического колебания $y = A\sin(\omega x + \phi_0)$.

• Амплитуда ($A$) — это максимальное отклонение от положения равновесия. В данном уравнении она равна коэффициенту перед синусом.
  $A = 3$.
• Период ($T$) — это время одного полного колебания. Он связан с угловой частотой $\omega$ формулой $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$. В нашем случае $\omega = 2$.
  $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Фаза колебания в данном контексте — это аргумент синуса, $(2x - 1)$. Начальная фаза (при $x=0$) равна $\phi_0 = -1$ радиан. Часто под "фазой" подразумевают именно начальную фазу.

Ответ: Амплитуда равна 3, период равен $\pi$, начальная фаза равна -1.

б) Чтобы развернутый рулон можно было сложить в прямоугольник, его длина $L$ должна быть кратна периоду $T$ синусоиды, по которой сделан разрез. Это гарантирует, что высота края в начале и в конце отрезка будет одинаковой. Найдем наименьшую такую длину, которая равна одному периоду.

Уравнение разреза: $y = 5\sin(\frac{\pi x}{2})$.

Сравниваем с общей формой $y = A\sin(\omega x + \phi_0)$, где угловая частота $\omega = \frac{\pi}{2}$.

Период $T$ вычисляется по формуле:
$T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 2\pi \cdot \frac{2}{\pi} = 4$.

Следовательно, наименьшая длина рулона $L$, которую можно развернуть в прямоугольник, равна 4.

Ответ: 4.

в) Высота $h$ развернутого листа описывается функцией $y = 2\sin(x + \frac{\pi}{3})$. Чтобы найти промежуток, в котором изменяется высота, нужно найти область значений этой функции.

Функция синус, $\sin(\alpha)$, принимает значения в промежутке от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$.

В нашем случае $\alpha = x + \frac{\pi}{3}$. Таким образом:
$-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$.

Умножив все части неравенства на амплитуду, равную 2, получаем:
$2 \cdot (-1) \le 2\sin(x + \frac{\pi}{3}) \le 2 \cdot 1$
$-2 \le y \le 2$.

Значит, высота $h$ изменяется в промежутке $[-2, 2]$.

Ответ: [-2, 2].

г) Разрез выполнен по кривой $y = 4\sin(3x)$. Это означает, что высота края обоев колеблется. Амплитуда колебания $A=4$.

Полный размах высоты края (от самой низкой точки до самой высокой) равен $2A = 2 \cdot 4 = 8$.

Чтобы из этого листа можно было вырезать прямоугольный лист постоянной шириной 6, необходимо, чтобы минимальная высота волнистого листа была не меньше 6.

Пусть высота листа в точке $x$ задается функцией $H(x)$. Мы можем представить ее в виде $H(x) = C + 4\sin(3x)$, где $C$ — это постоянное смещение, обеспечивающее положительную высоту.

Минимальная высота листа: $H_{min} = C - 4$.
Максимальная высота листа: $H_{max} = C + 4$.

Для вырезания прямоугольника шириной 6, должно выполняться условие:
$H_{min} \ge 6$
$C - 4 \ge 6 \implies C \ge 10$.

Наименьшая ширина рулона $h$ должна быть достаточной, чтобы вместить максимальную высоту вырезанного листа, то есть $h = H_{max}$. Чтобы найти наименьшую возможную ширину рулона $h$, мы должны выбрать наименьшее возможное значение $C$, то есть $C=10$.

$h_{min} = H_{max} = C_{min} + 4 = 10 + 4 = 14$.

Таким образом, рулон должен иметь наименьшую ширину 14.

Ответ: 14.