Номер 1, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Музыкальный строй — это система сопоставления нот и звуковых частот. Периодом музыкального строя является октава — интервал между нотами, частоты которых отличаются в 2 раза. Октава состоит из 12 ступеней. На клавиатуре рояля она представлена семью белыми и пятью черными клавишами (рис. 165). Отношение звуковых частот соседних нот для фортепьяно равно $\sqrt[12]{2}$. Ноте «ля» первой октавы соответствует частота 440 Гц. Найдите частоту ноты: а) «до» 2-й октавы; б) «ля» 3-й октавы.

Рис. 165

В основе решения лежит принцип равномерно темперированного строя, описанный в условии задачи. В этом строе отношение частот двух соседних нот (полутонов) является постоянной величиной, равной $k = \sqrt[12]{2}$. Частота любой ноты ($f$) может быть найдена относительно базовой ноты с частотой $f_0$ по формуле, если известно, на сколько полутонов ($n$) она отстоит от базовой:

$ f = f_0 \cdot (\sqrt[12]{2})^n $

Если нота выше базовой, $n$ — положительное число, если ниже — отрицательное. За базовую ноту принимаем «ля» первой октавы с частотой $f_{ля1} = 440$ Гц.

Для начала определим количество полутонов между нотой «ля» первой октавы и нотой «до» второй октавы. Для этого посчитаем количество шагов по полутонам вверх по клавиатуре:

• От «ля» до «ля-диез» — 1 полутон.
• От «ля-диез» до «си» — 1 полутон.
• От «си» до «до» следующей октавы — 1 полутон.

Следовательно, нота «до» второй октавы выше ноты «ля» первой октавы на $n=3$ полутона. Теперь мы можем рассчитать её частоту, $f_{до2}$:

$ f_{до2} = f_{ля1} \cdot (\sqrt[12]{2})^3 = 440 \cdot 2^{\frac{3}{12}} = 440 \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 440\sqrt[4]{2} $

Вычислим приближенное значение. Зная, что $\sqrt[4]{2} \approx 1.189207$, получаем:

$ f_{до2} \approx 440 \cdot 1.189207 \approx 523.251 $ Гц.

По условию необходимо выделить целую часть. Целая часть числа $523.251$ равна $523$.

Ответ: 523

Нота «ля» третьей октавы находится на две октавы выше ноты «ля» первой октавы. Из условия известно, что частоты нот, разнесенных на одну октаву, отличаются в 2 раза.

Следовательно, частота ноты «ля» второй октавы ($f_{ля2}$) в два раза больше частоты «ля» первой октавы:

$ f_{ля2} = f_{ля1} \cdot 2 = 440 \cdot 2 = 880 $ Гц.

А частота ноты «ля» третьей октавы ($f_{ля3}$) в два раза больше частоты «ля» второй октавы:

$ f_{ля3} = f_{ля2} \cdot 2 = 880 \cdot 2 = 1760 $ Гц.

Этот же результат можно получить, используя формулу с полутонами. Две октавы составляют $2 \cdot 12 = 24$ полутона ($n=24$):

$ f_{ля3} = f_{ля1} \cdot (\sqrt[12]{2})^{24} = 440 \cdot 2^{\frac{24}{12}} = 440 \cdot 2^2 = 440 \cdot 4 = 1760 $ Гц.

Полученное значение является целым числом.

Ответ: 1760