Номер 2, страница 276 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Как вы думаете, какую часть объема апельсина составляет его кожура?

Пусть радиус апельсина равен 5 см, а толщина кожуры — 5 мм (рис. 166). Тогда

$V_{\text{ап}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125;$

$V_{\text{к}} = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3) = \frac{4}{3}\pi(5^3 - 4,5^3) = \frac{4}{3}\pi \frac{271}{8};$

$\frac{V_{\text{к}}}{V_{\text{ап}}} \approx \frac{271}{1000}.$

Следовательно, кожура составляет почти треть объема апельсина! Найдите отношение толщины кожуры к радиусу апельсина, если ее объем составляет половину объема апельсина.

Рис. 166

Найдите отношение толщины кожуры к радиусу апельсина, если ее объем составляет половину объема апельсина.
Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $R$ — радиус всего апельсина.
• $r$ — радиус мякоти (апельсина без кожуры).
• $t$ — толщина кожуры, причем $t = R - r$.

Объем всего апельсина, который мы принимаем за шар, вычисляется по формуле:
$V_{ап} = \frac{4}{3}\pi R^3$
Объем кожуры — это разность объемов всего апельсина и его мякоти:
$V_{к} = V_{ап} - V_{мякоти} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$
Согласно условию задачи, объем кожуры составляет половину объема всего апельсина:
$V_к = \frac{1}{2} V_{ап}$
Подставим выражения для объемов в это равенство:
$\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3) = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right)$
Сократив обе части уравнения на общий множитель $\frac{4}{3}\pi$, получаем:
$R^3 - r^3 = \frac{1}{2} R^3$
Выразим $r^3$ через $R^3$:
$r^3 = R^3 - \frac{1}{2} R^3 = \frac{1}{2} R^3$
Теперь найдем соотношение между радиусами $r$ и $R$, извлекая из обеих частей уравнения кубический корень:
$r = \sqrt[3]{\frac{1}{2} R^3} = R \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{R}{\sqrt[3]{2}}$
Нам необходимо найти отношение толщины кожуры $t$ к радиусу апельсина $R$, то есть величину $\frac{t}{R}$. Для этого сначала выразим толщину $t$ через $R$:
$t = R - r = R - \frac{R}{\sqrt[3]{2}} = R \left( 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)$
Наконец, найдем искомое отношение, разделив толщину на радиус:
$\frac{t}{R} = \frac{R \left( 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)}{R} = 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Это точный ответ. Приближенное значение: $1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \approx 1 - \frac{1}{1.2599} \approx 1 - 0.7937 = 0.2063$.
Ответ: $1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.