Номер 3, страница 276 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Известно, что при одинаковой плотности вещества размеры двух подобных тел относятся как кубические корни из их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше другого, то его диаметр будет всего лишь чуть больше чем на четверть (на 26 %) превышать диаметр другого арбуза; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать больший плод.

В представленном тексте описывается физический принцип, связывающий массу и размеры подобных тел при одинаковой плотности. Разберем его подробнее и решим несколько задач на его основе.

Основная идея заключается в том, что масса тела ($m$) прямо пропорциональна его объему ($V$), а объем, в свою очередь, пропорционален кубу его линейных размеров ($L$), таких как диаметр, высота или длина.

Математически это можно выразить так:
1. Связь массы и объема: $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — плотность вещества.
2. Связь объема и линейного размера для подобных тел: $V \propto L^3$.

Объединив эти два положения, получаем, что при одинаковой плотности масса тела пропорциональна кубу его линейного размера: $m \propto L^3$.

Отсюда следует соотношение для двух подобных тел (например, двух арбузов): $$ \frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^3 $$ Из этой формулы можно выразить отношение их линейных размеров через отношение масс, взяв кубический корень: $$ \frac{L_1}{L_2} = \sqrt[3]{\frac{m_1}{m_2}} $$

Пример, приведенный в тексте, полностью соответствует этой формуле. Если один арбуз вдвое тяжелее другого ($m_1/m_2 = 2$), то отношение их диаметров будет: $$ \frac{d_1}{d_2} = \sqrt[3]{2} \approx 1.2599 $$ Это означает, что диаметр большего арбуза примерно на 25.99%, или на 26% (как указано в тексте), превышает диаметр меньшего.

Основываясь на этом принципе, решим две связанные задачи.

а) Во сколько раз нужно увеличить массу арбуза, чтобы его диаметр увеличился вдвое?
Пусть $d_1$ и $d_2$ — диаметры, а $m_1$ и $m_2$ — массы нового и исходного арбузов соответственно. По условию, диаметр увеличился вдвое, то есть отношение нового диаметра к старому составляет $\frac{d_1}{d_2} = 2$.
Чтобы найти, во сколько раз изменилась масса, воспользуемся формулой: $$ \frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^3 $$ Подставим известное отношение диаметров: $$ \frac{m_1}{m_2} = 2^3 = 8 $$ Следовательно, чтобы диаметр увеличился в 2 раза, массу необходимо увеличить в 8 раз.
Ответ: в 8 раз.

б) Один арбуз по диаметру в полтора раза больше другого. Во сколько раз он тяжелее?
Пусть $d_1$ и $d_2$ — диаметры большего и меньшего арбузов, а $m_1$ и $m_2$ — их массы. По условию, диаметр большего арбуза в 1.5 раза больше диаметра меньшего: $\frac{d_1}{d_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$.
Найдем отношение их масс по той же формуле: $$ \frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8} $$ Мы получили неправильную дробь. Чтобы наглядно представить это соотношение, выделим целую часть: $$ \frac{27}{8} = 3 \frac{3}{8} $$ Это означает, что больший арбуз тяжелее меньшего в $3 \frac{3}{8}$ раза.
Ответ: в 3 $\frac{3}{8}$ раза.