Номер 8, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

Проверим функцию на четность и нечетность. Для этого найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 4 = -x^3 - 3x^2 + 4$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

• $f(-x) = -x^3 - 3x^2 + 4 \neq f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Функция не является четной.
• $f(-x) = -x^3 - 3x^2 + 4 \neq -f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4$. Функция не является нечетной.

Так как функция является многочленом (не константой), она непериодическая.

Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 4)$.

Пересечение с осью Ox (при $f(x)=0$):
$x^3 - 3x^2 + 4 = 0$.
Для решения этого кубического уравнения найдем его целые корни среди делителей свободного члена (числа 4): $\pm1, \pm2, \pm4$.

• $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 2 \neq 0$
• $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Значит, $x = -1$ – корень.
• $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$. Значит, $x = 2$ – корень.

Поскольку мы нашли два корня, разложим многочлен на множители. Зная, что $x=-1$ является корнем, мы можем разделить многочлен на $(x+1)$:
$(x^3 - 3x^2 + 4) : (x+1) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде $(x+1)(x-2)^2 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$ (корень кратности 2, что означает, что график касается оси Ox в этой точке).
Точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(2; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями: $(0; 4)$ с осью Oy; $(-1; 0)$ и $(2; 0)$ с осью Ox.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты:
Так как функция определена на всей числовой оси, вертикальных асимптот нет.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты вида $y=kx+b$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 3x + \frac{4}{x}) = \infty$.
Поскольку предел $k$ не является конечным числом, наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Ответ: Асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 9 > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(0; 2)$: $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3 < 0$, функция убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$: $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 9 > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = f(0) = 4$. Точка максимума: $(0; 4)$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = f(2) = 0$. Точка минимума: $(2; 0)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$ и убывает на $[0; 2]$. Точка максимума $(0; 4)$, точка минимума $(2; 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
$6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 1)$: $f''(0) = -6 < 0$, график функции выпуклый вверх.
• На интервале $(1; +\infty)$: $f''(2) = 6 > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

В точке $x=1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. Найдем значение функции в этой точке: $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 2$.
Точка перегиба: $(1; 2)$.

Ответ: График функции выпуклый вверх на $(-\infty; 1)$ и вогнутый (выпуклый вниз) на $(1; +\infty)$. Точка перегиба $(1; 2)$.

7. Построение графика.

На основе полученных данных строим график функции. Отмечаем точки пересечения с осями $(-1; 0)$, $(2; 0)$, $(0; 4)$, точку максимума $(0; 4)$, точку минимума $(2; 0)$ и точку перегиба $(1; 2)$. Соединяем точки, учитывая интервалы возрастания/убывания и направления выпуклости.