Номер 3.174, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.174. Каркас деревянного ящика укрепили, обив все его ребра металлической лентой. Всего использовано 10 м ленты. Найдите размеры ящика, зная, что он имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, а его объем — наибольший.

Пусть сторона квадратного основания ящика равна $a$ метров, а его высота равна $h$ метров. Ящик имеет форму прямоугольного параллелепипеда, у которого 12 ребер.

В основании лежат два квадрата со стороной $a$. Это дает $4 \times 2 = 8$ ребер длиной $a$. Также имеется 4 вертикальных ребра, равных высоте $h$.

Сумма длин всех ребер равна общей длине использованной металлической ленты, то есть 10 м. Составим уравнение, связывающее размеры ящика:

$8a + 4h = 10$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$4a + 2h = 5$

Теперь выразим высоту $h$ через сторону основания $a$:

$2h = 5 - 4a$

$h = \frac{5 - 4a}{2} = \frac{5}{2} - 2a$

Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение площади основания на высоту. Площадь квадратного основания равна $a^2$. Таким образом, объем ящика как функция от стороны основания $a$ имеет вид:

$V(a) = a^2 \cdot h = a^2 \left(\frac{5}{2} - 2a\right) = \frac{5}{2}a^2 - 2a^3$

Чтобы найти размеры ящика с наибольшим объемом, необходимо найти значение $a$, при котором функция $V(a)$ достигает своего максимума. Для этого найдем производную функции $V(a)$ и приравняем ее к нулю.

Первая производная $V'(a)$:

$V'(a) = \frac{d}{da}\left(\frac{5}{2}a^2 - 2a^3\right) = 2 \cdot \frac{5}{2}a - 3 \cdot 2a^2 = 5a - 6a^2$

Найдем критические точки, решив уравнение $V'(a) = 0$:

$5a - 6a^2 = 0$

$a(5 - 6a) = 0$

Это уравнение дает два решения: $a_1 = 0$ и $a_2 = \frac{5}{6}$.

Решение $a=0$ не имеет физического смысла (объем будет равен нулю). Проверим, является ли точка $a = \frac{5}{6}$ точкой максимума. Для этого воспользуемся второй производной.

Вторая производная $V''(a)$:

$V''(a) = \frac{d}{da}(5a - 6a^2) = 5 - 12a$

Вычислим значение второй производной в точке $a = \frac{5}{6}$:

$V''\left(\frac{5}{6}\right) = 5 - 12 \cdot \frac{5}{6} = 5 - 2 \cdot 5 = 5 - 10 = -5$

Поскольку $V''\left(\frac{5}{6}\right) < 0$, точка $a = \frac{5}{6}$ действительно является точкой максимума функции объема.

Теперь, зная оптимальное значение стороны основания, найдем соответствующую высоту $h$:

$h = \frac{5}{2} - 2a = \frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{2} - \frac{10}{6} = \frac{5}{2} - \frac{5}{3} = \frac{15 - 10}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, ящик с наибольшим объемом является кубом. Его размеры:

Длина основания: Ответ: $\frac{5}{6}$ м

Ширина основания: Ответ: $\frac{5}{6}$ м

Высота: Ответ: $\frac{5}{6}$ м