Номер 3.168, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.168. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = x^4 - 8x^2 - 3$ на отрезке:

а) $[-3; -1];$

б) $[-1; 0];$

в) $[-1; 3];$

г) $[-3; 3].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке необходимо:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$ (а также точки, где производная не существует).
3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений найти наибольшее и наименьшее.

Дана функция $f(x) = x^4 - 8x^2 - 3$.

Шаг 1: Находим производную функции.

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 - 3)' = 4x^3 - 16x$

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x - 2)(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$. Производная существует при всех $x$.

Теперь рассмотрим каждый отрезок.

а) $[-3; -1]$

На данном отрезке лежит одна критическая точка: $x = -2$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:

• $f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 - 3 = 81 - 8 \cdot 9 - 3 = 81 - 72 - 3 = 6$
• $f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 - 3 = 16 - 8 \cdot 4 - 3 = 16 - 32 - 3 = -19$
• $f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 3 = 1 - 8 \cdot 1 - 3 = 1 - 8 - 3 = -10$

Среди значений $\{6, -19, -10\}$ наибольшее равно $6$, а наименьшее равно $-19$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $6$, наименьшее значение равно $-19$.

б) $[-1; 0]$

На данном отрезке лежит одна критическая точка: $x = 0$ (которая также является концом отрезка).

Вычислим значения функции на концах отрезка:

• $f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 3 = 1 - 8 - 3 = -10$
• $f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 - 3 = -3$

Среди значений $\{-10, -3\}$ наибольшее равно $-3$, а наименьшее равно $-10$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $-3$, наименьшее значение равно $-10$.

в) $[-1; 3]$

На данном отрезке лежат две критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• $f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 3 = 1 - 8 - 3 = -10$
• $f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 - 3 = -3$
• $f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 - 3 = 16 - 8 \cdot 4 - 3 = 16 - 32 - 3 = -19$
• $f(3) = (3)^4 - 8(3)^2 - 3 = 81 - 8 \cdot 9 - 3 = 81 - 72 - 3 = 6$

Среди значений $\{-10, -3, -19, 6\}$ наибольшее равно $6$, а наименьшее равно $-19$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $6$, наименьшее значение равно $-19$.

г) $[-3; 3]$

На данном отрезке лежат все три критические точки: $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка. (Заметим, что функция четная, т.е. $f(-x) = f(x)$, поэтому $f(-3) = f(3)$ и $f(-2) = f(2)$).

• $f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 - 3 = 81 - 72 - 3 = 6$
• $f(3) = (3)^4 - 8(3)^2 - 3 = 81 - 72 - 3 = 6$
• $f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 - 3 = 16 - 32 - 3 = -19$
• $f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 - 3 = 16 - 32 - 3 = -19$
• $f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 - 3 = -3$

Среди значений $\{6, -19, -3\}$ наибольшее равно $6$, а наименьшее равно $-19$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $6$, наименьшее значение равно $-19$.