Номер 3.172, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.172. Забором длиной 100 м нужно огородить прямоугольную площадку наибольшей площади. Найдите размеры этой площадки.

Пусть стороны прямоугольной площадки равны $x$ и $y$ метров. Длина забора — это периметр прямоугольника.

Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле: $$ P = 2(x + y) $$ По условию задачи, периметр равен 100 м: $$ 100 = 2(x + y) $$ Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить сумму сторон: $$ x + y = 50 $$ Отсюда можно выразить одну сторону через другую, например, $y$ через $x$: $$ y = 50 - x $$

Площадь $S$ прямоугольника вычисляется по формуле: $$ S = x \cdot y $$ Чтобы найти наибольшую площадь, нужно выразить площадь как функцию одной переменной. Подставим выражение для $y$ в формулу площади: $$ S(x) = x \cdot (50 - x) $$ $$ S(x) = 50x - x^2 $$

Мы получили квадратичную функцию $S(x) = -x^2 + 50x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$). Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находится по формуле: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} $$ Для нашей функции $S(x)$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 50$. Найдем значение $x$, при котором площадь будет максимальной: $$ x = -\frac{50}{2 \cdot (-1)} = -\frac{50}{-2} = 25 $$ Итак, одна из сторон прямоугольника, при которой площадь будет наибольшей, равна 25 м.

Теперь найдем длину второй стороны $y$: $$ y = 50 - x = 50 - 25 = 25 $$ Вторая сторона также равна 25 м.

Следовательно, прямоугольная площадка с наибольшей площадью при заданном периметре является квадратом.

Найдите размеры этой площадки. Ответ: размеры площадки 25 м на 25 м.