Номер 3.165, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.165. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = 4x^2 - 24x + 1$ на отрезках:

a) $[-1; 4];$

б) $[-5; 1].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 4x^2 - 24x + 1$ на заданных отрезках, воспользуемся алгоритмом, основанным на анализе производной функции.

1. Нахождение производной функции.

Производная функции $f(x)$ находится по правилам дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (4x^2 - 24x + 1)' = 4 \cdot 2x - 24 \cdot 1 + 0 = 8x - 24$

2. Нахождение критических точек.

Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$8x - 24 = 0$

$8x = 24$

$x = 3$

Мы получили единственную критическую точку $x = 3$.

3. Анализ на отрезках.

Теперь необходимо вычислить значения функции на концах каждого отрезка и в критических точках, которые принадлежат этим отрезкам.

a) Отрезок $[-1; 4]$

Критическая точка $x = 3$ принадлежит отрезку $[-1; 4]$, так как $-1 \le 3 \le 4$.

Вычислим значения функции в точках $x=-1$ (левый конец), $x=4$ (правый конец) и $x=3$ (критическая точка):

• $f(-1) = 4(-1)^2 - 24(-1) + 1 = 4 \cdot 1 + 24 + 1 = 29$
• $f(3) = 4(3)^2 - 24(3) + 1 = 4 \cdot 9 - 72 + 1 = 36 - 72 + 1 = -35$
• $f(4) = 4(4)^2 - 24(4) + 1 = 4 \cdot 16 - 96 + 1 = 64 - 96 + 1 = -31$

Среди полученных значений $\{29, -35, -31\}$ выбираем самое большое и самое маленькое.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 4]$ равно 29, а наименьшее значение равно -35.

б) Отрезок $[-5; 1]$

Критическая точка $x = 3$ не принадлежит отрезку $[-5; 1]$, так как $3 > 1$.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах этого отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-5$ и $x=1$:

• $f(-5) = 4(-5)^2 - 24(-5) + 1 = 4 \cdot 25 + 120 + 1 = 100 + 120 + 1 = 221$
• $f(1) = 4(1)^2 - 24(1) + 1 = 4 \cdot 1 - 24 + 1 = 4 - 24 + 1 = -19$

Среди полученных значений $\{221, -19\}$ выбираем самое большое и самое маленькое.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[-5; 1]$ равно 221, а наименьшее значение равно -19.