Номер 3.164, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.164. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 - 2$ на отрезке $[-5; 2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f(x)$.
2. Найти стационарные (критические) точки функции, то есть точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.
3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Среди всех полученных значений найти наибольшее и наименьшее.

Применим этот алгоритм для функции $f(x) = x^3 - 2$ на отрезке $[-5; 2]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 2)' = (x^3)' - (2)' = 3x^2 - 0 = 3x^2$

2. Находим критические точки:

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$f'(x) = 0$
$3x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x = 0$

Производная $f'(x) = 3x^2$ определена на всей числовой оси, поэтому других критических точек нет.

3. Проверяем принадлежность критических точек отрезку:

Отрезок, на котором мы ищем экстремумы, — это $[-5; 2]$.
Критическая точка $x=0$ принадлежит этому отрезку, так как $-5 \le 0 \le 2$.

4. Вычисляем значения функции:

Теперь нужно вычислить значения функции $f(x) = x^3 - 2$ в найденной критической точке и на концах отрезка (в точках $x=-5$ и $x=2$).

• При $x = -5$ (левый конец отрезка):
  $f(-5) = (-5)^3 - 2 = -125 - 2 = -127$
• При $x = 0$ (критическая точка):
  $f(0) = (0)^3 - 2 = 0 - 2 = -2$
• При $x = 2$ (правый конец отрезка):
  $f(2) = (2)^3 - 2 = 8 - 2 = 6$

5. Выбираем наибольшее и наименьшее значения:

Сравниваем полученные значения: $-127$, $-2$, $6$.

• Наибольшее значение функции на отрезке $[-5; 2]$ равно $6$.
• Наименьшее значение функции на отрезке $[-5; 2]$ равно $-127$.

Наибольшее значение Ответ: 6

Наименьшее значение Ответ: -127