Номер 3.160, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.160. Площадь прямоугольного участка, выделенного для экспериментального овощеводства, равна 1 га. Найдите, какими должны быть размеры участка, чтобы на изгородь ушло наименьшее количество сетки.

Для решения задачи необходимо найти размеры прямоугольного участка, при которых его периметр будет минимальным при заданной площади.

Пусть стороны прямоугольного участка равны $x$ и $y$ в метрах.

Площадь участка $S$ вычисляется по формуле:$S = x \cdot y$

Количество сетки, необходимое для изгороди, равно периметру участка $P$:$P = 2(x + y)$

По условию, площадь участка составляет 1 гектар. Переведем эту величину в квадратные метры, учитывая, что 1 га = 10 000 м²:$S = 10 000 \text{ м}^2$

Таким образом, мы имеем уравнение, связывающее стороны участка:$x \cdot y = 10000$

Чтобы найти минимальный периметр, выразим одну переменную через другую из уравнения площади. Например, выразим $y$ через $x$:$y = \frac{10000}{x}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. В результате периметр будет функцией одной переменной $x$:$P(x) = 2(x + \frac{10000}{x}) = 2x + \frac{20000}{x}$

Для нахождения минимального значения функции $P(x)$ необходимо найти ее производную по переменной $x$ и приравнять ее к нулю:$P'(x) = (2x + \frac{20000}{x})' = 2 - \frac{20000}{x^2}$

Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек:$2 - \frac{20000}{x^2} = 0$$2 = \frac{20000}{x^2}$$2x^2 = 20000$$x^2 = 10000$Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем положительный корень:$x = \sqrt{10000} = 100$ м.

Чтобы удостовериться, что при $x = 100$ м достигается именно минимум периметра, можно проанализировать знак второй производной:$P''(x) = (\frac{40000}{x^3})$При $x=100$, $P''(100) > 0$, следовательно, это точка минимума.

Теперь найдем длину второй стороны $y$:$y = \frac{10000}{x} = \frac{10000}{100} = 100$ м.

Таким образом, наименьшее количество сетки потребуется, если участок будет иметь форму квадрата со стороной 100 метров.

Размеры участка Ответ: 100 м на 100 м.