Номер 3.163, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.163. Металлический контейнер с крышкой объемом $72 \text{ дм}^3$ имеет форму прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относятся как 1 : 2. При каких размерах контейнера на покраску его полной поверхности потребуется меньше всего краски?

Для решения этой задачи необходимо найти размеры прямоугольного параллелепипеда, при которых его полная площадь поверхности будет минимальной при заданном объеме. Расход краски прямо пропорционален площади окрашиваемой поверхности.

Пусть стороны основания контейнера равны $a$ и $b$, а его высота — $h$.

Согласно условию, стороны основания относятся как $1:2$. Обозначим меньшую сторону основания как $x$, тогда большая сторона будет равна $2x$.

$a = x$

$b = 2x$

Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$V = a \cdot b \cdot h$

Подставим наши обозначения и заданный объем $V = 72 \text{ дм}^3$:

$72 = x \cdot 2x \cdot h$

$72 = 2x^2h$

Из этого уравнения выразим высоту $h$ через $x$:

$h = \frac{72}{2x^2} = \frac{36}{x^2}$

Площадь полной поверхности $S$ закрытого контейнера (с дном и крышкой) вычисляется по формуле:

$S = 2(ab + ah + bh)$

Подставим в эту формулу выражения для сторон через $x$:

$S(x, h) = 2(x \cdot 2x + x \cdot h + 2x \cdot h) = 2(2x^2 + 3xh) = 4x^2 + 6xh$

Теперь заменим $h$ выражением, которое мы получили ранее, чтобы площадь стала функцией одной переменной $x$:

$S(x) = 4x^2 + 6x \left( \frac{36}{x^2} \right) = 4x^2 + \frac{216}{x}$

Для нахождения минимального значения площади поверхности найдем производную функции $S(x)$ и приравняем ее к нулю:

$S'(x) = (4x^2 + 216x^{-1})' = 8x - 216x^{-2} = 8x - \frac{216}{x^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$8x - \frac{216}{x^2} = 0$

$8x = \frac{216}{x^2}$

$8x^3 = 216$

$x^3 = \frac{216}{8} = 27$

$x = \sqrt[3]{27} = 3$

Найденное значение $x=3$ является точкой минимума (проверка по второй производной $S''(x) = 8 + \frac{432}{x^3} > 0$ при $x > 0$).

Теперь, зная $x$, мы можем определить все размеры контейнера:

• Меньшая сторона основания: $a = x = 3 \text{ дм}$.
• Большая сторона основания: $b = 2x = 2 \cdot 3 = 6 \text{ дм}$.
• Высота: $h = \frac{36}{x^2} = \frac{36}{3^2} = \frac{36}{9} = 4 \text{ дм}$.

Таким образом, чтобы на покраску ушло меньше всего краски, контейнер должен иметь следующие размеры:

Меньшая сторона основания: Ответ: 3 дм.

Большая сторона основания: Ответ: 6 дм.

Высота: Ответ: 4 дм.