Номер 3.157, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.157. Число 18 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и квадрата второго слагаемого было наибольшим.

Пусть число 18 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ (первое слагаемое) и $y$ (второе слагаемое):

$x + y = 18$

Поскольку слагаемые должны быть положительными, то $x > 0$ и $y > 0$. Из уравнения суммы выразим первое слагаемое $x$ через второе $y$:

$x = 18 - y$

Условие $x > 0$ означает, что $18 - y > 0$, откуда $y < 18$. Таким образом, значение $y$ находится в интервале $(0, 18)$.

Нам необходимо найти наибольшее значение произведения первого слагаемого и квадрата второго слагаемого. Составим функцию $P$ этого произведения, зависящую от переменной $y$:

$P(y) = x \cdot y^2 = (18 - y)y^2 = 18y^2 - y^3$

Для нахождения максимума этой функции найдем ее производную по переменной $y$:

$P'(y) = (18y^2 - y^3)' = 36y - 3y^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$36y - 3y^2 = 0$
$3y(12 - y) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $y_1 = 0$ и $y_2 = 12$.

Критическая точка $y_1 = 0$ не входит в рассматриваемый интервал $(0, 18)$. Критическая точка $y_2 = 12$ принадлежит этому интервалу.

Чтобы проверить, является ли точка $y = 12$ точкой максимума, воспользуемся второй производной:

$P''(y) = (36y - 3y^2)' = 36 - 6y$

Найдем значение второй производной в точке $y = 12$:

$P''(12) = 36 - 6 \cdot 12 = 36 - 72 = -36$

Поскольку $P''(12) < 0$, точка $y = 12$ является точкой локального максимума. Так как это единственная критическая точка на интервале, то в ней достигается наибольшее значение функции.

Теперь найдем значение первого слагаемого $x$:

$x = 18 - y = 18 - 12 = 6$

Следовательно, искомые слагаемые - это 6 (первое) и 12 (второе).

Ответ: Первое слагаемое равно 6, второе слагаемое равно 12.