Номер 3.158, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.158. Забором длиной 60 м нужно огородить прямоугольную площадку наибольшей площади. Найдите размеры этой площадки.

Для решения этой задачи необходимо найти размеры прямоугольника с заданным периметром, имеющего максимальную площадь.

Пусть стороны прямоугольной площадки равны $a$ и $b$ метров. Периметр этой площадки, который равен длине забора, составляет 60 м. Формула периметра прямоугольника:

$P = 2(a+b)$

Подставим известное значение периметра в формулу:

$60 = 2(a+b)$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин сторон:

$a+b = 30$

Из этого уравнения можно выразить одну сторону через другую, например, $b$ через $a$:

$b = 30 - a$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

Чтобы найти максимальную площадь, подставим выражение для $b$ в формулу площади. Это позволит нам получить функцию площади, которая зависит только от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot (30 - a)$

$S(a) = 30a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 30a$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение такой функции находится в ее вершине.

Абсциссу вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ можно найти по формуле $x_0 = - \frac{B}{2A}$. В нашем случае $A = -1$ и $B = 30$.

Найдем значение стороны $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = - \frac{30}{2 \cdot (-1)} = - \frac{30}{-2} = 15$

Итак, одна из сторон прямоугольника равна 15 м. Теперь найдем длину второй стороны $b$:

$b = 30 - a = 30 - 15 = 15$

Таким образом, площадка будет иметь наибольшую площадь, если она является квадратом со стороной 15 метров.

Найдите размеры этой площадки: Ответ: стороны площадки должны быть равны 15 м и 15 м.