Номер 3.127, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) Функция $y = \frac{3}{x}$ является обратной пропорциональностью. График этой функции — гипербола.

1. Область определения и область значений:

• Область определения $D(y)$: $x$ не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: $y$ также не может быть равен нулю, так как дробь $\frac{3}{x}$ равна нулю только если числитель равен нулю, а он равен 3. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Свойства и асимптоты:

• Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{3}{-x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат (0, 0).
• Оси координат являются асимптотами графика. Вертикальная асимптота: $x = 0$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Поскольку коэффициент $k=3 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

3. Построение графика:

Составим таблицу значений для нескольких точек для первой ветви (в I четверти):

Используя симметрию относительно начала координат, найдем точки для второй ветви (в III четверти):

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их. Получим две ветви гиперболы.

б) Функция $y = \sqrt{x}$ — функция квадратного корня. Ее график — ветвь параболы.

1. Область определения и область значений:

• Область определения $D(y)$: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.

2. Свойства:

• График начинается в точке (0, 0) и расположен полностью в I координатной четверти.
• Функция возрастает на всей области определения.

3. Построение графика:

Составим таблицу значений, выбирая для $x$ такие числа, из которых легко извлекается квадратный корень:

Отметим точки (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3) на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. Эта кривая является верхней половиной параболы $x = y^2$, открытой вправо.

в) Функция $y = x^3$ — кубическая функция. Ее график называется кубической параболой.

1. Область определения и область значений:

• Область определения $D(y)$: любое действительное число. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: любое действительное число. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Свойства:

• Функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат (0, 0).
• Функция возрастает на всей области определения.
• График проходит через начало координат.

3. Построение графика:

Составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметим точки (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8) на координатной плоскости. Соединим их плавной кривой, которая проходит из III четверти в I, имея в точке (0, 0) перегиб.

г) Функция $y = |x|$ — функция модуля (абсолютной величины).

1. Определение и свойства:

• Функцию можно записать в виде системы: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
• Область определения $D(y)$: любое действительное число. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: модуль числа всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

2. Построение графика:

График состоит из двух частей (двух лучей):

• При $x \ge 0$ график совпадает с прямой $y = x$. Это биссектриса I координатного угла. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 2) и т.д.
• При $x < 0$ график совпадает с прямой $y = -x$. Это биссектриса II координатного угла. Она проходит через точки (0, 0), (-1, 1), (-2, 2) и т.д.

Соединив эти два луча, мы получим график в виде "галочки" или "V", вершина которой находится в начале координат (0, 0).