Номер 3.124, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.124. Найдите промежутки монотонности функции:

a) $f(x)=(x-3)^2-1$;

б) $f(x)=-2(x+5)^2+7$.

Промежутки монотонности функции можно найти, проанализировав ее производную или, в случае квадратичной функции, по направлению ветвей параболы и расположению ее вершины.

а) $f(x) = (x - 3)^2 - 1$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Функция представлена в каноническом виде $f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы.

В данном случае, $a = 1$, $x_0 = 3$, $y_0 = -1$.

Поскольку коэффициент при старшем члене $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы является точкой минимума функции. Абсцисса вершины $x_0 = 3$.

Следовательно, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.

Промежуток убывания (функция убывает): $x \in (-\infty, 3]$.
Промежуток возрастания (функция возрастает): $x \in [3, +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$ и возрастает на промежутке $[3, +\infty)$.

б) $f(x) = -2(x + 5)^2 + 7$

Эта функция также является квадратичной, и ее график — парабола. Запишем ее в виде $f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$, чтобы определить параметры.

$f(x) = -2(x - (-5))^2 + 7$.
Здесь $a = -2$, $x_0 = -5$, $y_0 = 7$.

Поскольку коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы является точкой максимума функции. Абсцисса вершины $x_0 = -5$.

Следовательно, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины.

Промежуток возрастания (функция возрастает): $x \in (-\infty, -5]$.
Промежуток убывания (функция убывает): $x \in [-5, +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -5]$ и убывает на промежутке $[-5, +\infty)$.