Номер 3.121, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.121. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции:

а) $f(x) = x^3 - 3x;$

б) $f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 5.$

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
3. Определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения функции.
4. Сделать выводы о монотонности функции: где $f'(x) > 0$ — функция возрастает, где $f'(x) < 0$ — функция убывает.
5. Определить точки экстремума: если в критической точке производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума; если с «−» на «+» — точка минимума.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

3. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале.

• Для интервала $(-\infty, -1)$, возьмем $x = -2$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает.
• Для интервала $(-1, 1)$, возьмем $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$. Функция убывает.
• Для интервала $(1, +\infty)$, возьмем $x = 2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает.

4. Таким образом, промежутки монотонности:

• Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$.
• Функция убывает на $[-1, 1]$.

5. Определяем точки экстремума:

• В точке $x = -1$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка максимума: $x_{max} = -1$.
• В точке $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка минимума: $x_{min} = 1$.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^3 - 6x^2 - 18x + 5)' = 6x^2 - 12x - 18$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$6x^2 - 12x - 18 = 0$
Делим все уравнение на 6 для упрощения:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Используя теорему Виета (сумма корней равна 2, произведение равно -3), находим корни:
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

3. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = 6(x+1)(x-3)$ в каждом интервале.

• Для интервала $(-\infty, -1)$, возьмем $x = -2$: $f'(-2) = 6(-2+1)(-2-3) = 6(-1)(-5) = 30 > 0$. Функция возрастает.
• Для интервала $(-1, 3)$, возьмем $x = 0$: $f'(0) = 6(0+1)(0-3) = 6(1)(-3) = -18 < 0$. Функция убывает.
• Для интервала $(3, +\infty)$, возьмем $x = 4$: $f'(4) = 6(4+1)(4-3) = 6(5)(1) = 30 > 0$. Функция возрастает.

4. Таким образом, промежутки монотонности:

• Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$.
• Функция убывает на $[-1, 3]$.

5. Определяем точки экстремума:

• В точке $x = -1$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка максимума: $x_{max} = -1$.
• В точке $x = 3$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка минимума: $x_{min} = 3$.