Номер 3.128, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.128. Примените алгоритм построения графика функции $g(x) = -x^2 + 6x - 2.$

Для построения графика функции $g(x) = -x^2 + 6x - 2$ применим стандартный алгоритм исследования и построения квадратичной функции. Графиком данной функции является парабола.

1. 1. Определение направления ветвей параболы.

   Функция имеет вид $g(x) = ax^2 + bx + c$, где $a = -1$, $b = 6$, $c = -2$. Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

   Ответ: Ветви параболы направлены вниз.

2. 2. Нахождение координат вершины параболы.

   Координаты вершины $(x_в, y_в)$ можно найти по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$, а затем подставить найденное значение $x_в$ в уравнение функции для нахождения $y_в$.

   $x_в = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

   $y_в = g(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 2 = -9 + 18 - 2 = 7$

   Другой способ — выделение полного квадрата:

   $g(x) = -x^2 + 6x - 2 = -(x^2 - 6x) - 2 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 2 = -((x-3)^2 - 9) - 2 = -(x-3)^2 + 9 - 2 = -(x-3)^2 + 7$

   Из вида $g(x) = -(x-3)^2 + 7$ видно, что вершина находится в точке $(3, 7)$.

   Ответ: Координаты вершины параболы: $(3, 7)$.

3. 3. Определение оси симметрии параболы.

   Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии $x = x_в$.

   Ответ: Ось симметрии — прямая $x = 3$.

4. 4. Нахождение точек пересечения с осями координат.

   а) С осью ординат (Oy):
   Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставляем $x=0$ в уравнение функции:

   $g(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 2 = -2$

   Точка пересечения с Oy: $(0, -2)$.

   б) С осью абсцисс (Ox):
   Для нахождения точек пересечения с осью Ox, решаем уравнение $g(x)=0$:

   $-x^2 + 6x - 2 = 0$

   Умножим обе части на -1: $x^2 - 6x + 2 = 0$.

   Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$.

   Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7}$.

   Точки пересечения с Ox: $(3 - \sqrt{7}, 0)$ и $(3 + \sqrt{7}, 0)$. Для построения можно использовать их приближенные значения: $(0.35, 0)$ и $(5.65, 0)$.

   Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, -2)$. Точки пересечения с осью Ox: $(3 - \sqrt{7}, 0)$ и $(3 + \sqrt{7}, 0)$.

5. 5. Нахождение дополнительных точек.

   Для более точного построения графика найдем значения функции в нескольких целых точках, симметричных относительно оси $x=3$.

   • При $x=1$: $g(1) = -1^2 + 6(1) - 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.
   • При $x=5$ (симметрично $x=1$): $g(5) = -5^2 + 6(5) - 2 = -25 + 30 - 2 = 3$. Точка $(5, 3)$.
   • При $x=2$: $g(2) = -2^2 + 6(2) - 2 = -4 + 12 - 2 = 6$. Точка $(2, 6)$.
   • При $x=4$ (симметрично $x=2$): $g(4) = -4^2 + 6(4) - 2 = -16 + 24 - 2 = 6$. Точка $(4, 6)$.

   Мы также имеем точку $(0, -2)$ и симметричную ей точку $(6, -2)$.

   Ответ: Дополнительные точки для построения: $(1, 3)$, $(2, 6)$, $(4, 6)$, $(5, 3)$, $(6, -2)$.

6. 6. Построение графика.

   На координатной плоскости отмечаем вершину $(3, 7)$, точки пересечения с осями $(0, -2)$, $(3 - \sqrt{7}, 0)$, $(3 + \sqrt{7}, 0)$ и дополнительные точки. Проводим ось симметрии $x=3$. Соединяем все точки плавной линией, получая параболу с ветвями, направленными вниз.

   Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(3, 7)$, ветвями вниз, проходящая через найденные точки.