Номер 3.129, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.129. Постройте график функции $y = 3(x - 1)^2$, используя преобразование графика функции $y = 3x^2$.

Для построения графика функции $y = 3(x-1)^2$, мы используем график базовой функции $y = 3x^2$ и применяем к нему преобразование сдвига (параллельного переноса).

Шаг 1. Анализ и построение графика базовой функции $y = 3x^2$

Графиком функции $y = 3x^2$ является парабола. Определим её ключевые свойства:

• Вершина: Находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Ось симметрии: Совпадает с осью ординат (прямая $x=0$).
• Направление ветвей: Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$).
• Форма: Парабола "уже" или "более вытянута" вдоль оси OY по сравнению со стандартной параболой $y=x^2$.

Для более точного построения составим таблицу значений для нескольких точек:

На основе этих точек мы можем схематически изобразить параболу $y = 3x^2$.

Шаг 2. Определение типа преобразования

Искомая функция $y = 3(x-1)^2$ получается из базовой функции $y = 3x^2$ путем замены переменной $x$ на выражение $(x-1)$. Это преобразование соответствует общему виду $y = f(x-a)$, где $f(x) = 3x^2$ и $a=1$.

Преобразование вида $y = f(x-a)$ представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (OX). Поскольку в нашем случае $a=1$ (положительное число), сдвиг происходит на 1 единицу вправо.

Шаг 3. Построение итогового графика $y = 3(x-1)^2$

Чтобы получить график функции $y = 3(x-1)^2$, мы сдвигаем весь график функции $y = 3x^2$ на одну единицу вправо. Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y=3x^2$ соответствующая ей точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0+1, y_0)$.

• Вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0+1, 0)$, то есть в точку $(1, 0)$.
• Ось симметрии смещается из $x=0$ в $x=1$.
• Контрольные точки также смещаются:
  • $(-1, 3)$ переходит в $(-1+1, 3) = (0, 3)$
  • $(1, 3)$ переходит в $(1+1, 3) = (2, 3)$
  • $(-2, 12)$ переходит в $(-2+1, 12) = (-1, 12)$
  • $(2, 12)$ переходит в $(2+1, 12) = (3, 12)$

Таким образом, график функции $y = 3(x-1)^2$ — это парабола, идентичная параболе $y = 3x^2$, но сдвинутая на 1 единицу вправо по оси OX. Её вершина находится в точке $(1, 0)$, а ветви по-прежнему направлены вверх.