Номер 3.126, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.126. Выполните действия:

$(\frac{3a}{a+5} - \frac{8a}{a^2+10a+25}) : \frac{3a+7}{a^2-25} + \frac{5a-25}{a+5}$

Для решения данного выражения необходимо выполнить действия по порядку, соблюдая их приоритет: сначала действие в скобках, затем деление и в конце сложение.

Исходное выражение:

$$ \left( \frac{3a}{a+5} - \frac{8a}{a^2 + 10a + 25} \right) : \frac{3a+7}{a^2-25} + \frac{5a-25}{a+5} $$

1. Выполним действие в скобках (вычитание дробей).

$$ \frac{3a}{a+5} - \frac{8a}{a^2 + 10a + 25} $$ Заметим, что знаменатель второй дроби $a^2 + 10a + 25$ является полным квадратом суммы $(a+5)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(a+5)^2$, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(a+5)$: $$ \frac{3a(a+5)}{(a+5)^2} - \frac{8a}{(a+5)^2} = \frac{3a(a+5) - 8a}{(a+5)^2} $$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$ \frac{3a^2 + 15a - 8a}{(a+5)^2} = \frac{3a^2 + 7a}{(a+5)^2} $$ Вынесем общий множитель $a$ в числителе за скобки: $$ \frac{a(3a+7)}{(a+5)^2} $$ Ответ: $ \frac{a(3a+7)}{(a+5)^2} $

2. Выполним деление.

Результат первого действия разделим на дробь $\frac{3a+7}{a^2-25}$: $$ \frac{a(3a+7)}{(a+5)^2} : \frac{3a+7}{a^2-25} $$ Для деления на дробь, умножим на дробь, обратную делителю. Знаменатель $a^2-25$ разложим по формуле разности квадратов: $a^2-25 = (a-5)(a+5)$. $$ \frac{a(3a+7)}{(a+5)^2} \cdot \frac{(a-5)(a+5)}{3a+7} $$ Сократим общие множители $(3a+7)$ и $(a+5)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{a \cdot \cancel{(3a+7)} \cdot (a-5) \cdot \cancel{(a+5)}}{\cancel{(a+5)} \cdot (a+5) \cdot \cancel{(3a+7)}} = \frac{a(a-5)}{a+5} $$ Ответ: $ \frac{a(a-5)}{a+5} $

3. Выполним сложение.

К результату второго действия прибавим последнюю дробь $\frac{5a-25}{a+5}$: $$ \frac{a(a-5)}{a+5} + \frac{5a-25}{a+5} $$ У дробей уже общий знаменатель, поэтому сложим их числители: $$ \frac{a(a-5) + (5a-25)}{a+5} $$ В выражении $5a-25$ вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(a-5)$. $$ \frac{a(a-5) + 5(a-5)}{a+5} $$ Теперь в числителе можно вынести за скобки общий множитель $(a-5)$: $$ \frac{(a-5)(a+5)}{a+5} $$ Сократим дробь на общий множитель $(a+5)$: $$ \frac{(a-5)\cancel{(a+5)}}{\cancel{a+5}} = a-5 $$ Ответ: $a-5$

Итоговый ответ: $a-5$