Номер 3.116, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.116. Используйте алгоритм и найдите промежутки убывания и возрастания функции $f(x) = \frac{4x+3}{x-1}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = \frac{4x + 3}{x - 1}$ необходимо исследовать знак её производной. Алгоритм решения следующий:

1. Нахождение области определения функции.

   Функция является дробно-рациональной, поэтому её знаменатель не может обращаться в ноль:

   $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

   Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции.

   Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

   $f'(x) = \left(\frac{4x + 3}{x - 1}\right)' = \frac{(4x + 3)'(x - 1) - (4x + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2}$

   $f'(x) = \frac{4(x - 1) - (4x + 3) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{4x - 4 - 4x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{-7}{(x - 1)^2}$.

3. Нахождение критических точек.

   Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае необходимо также учесть точки, где сама функция не определена.

   Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

   $\frac{-7}{(x - 1)^2} = 0$.

   Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби, -7, не равен нулю. Значит, у функции нет стационарных точек.

   Производная $f'(x)$ не существует, если её знаменатель равен нулю: $(x - 1)^2 = 0$, что даёт $x = 1$. Эта точка не входит в область определения функции, но она разбивает числовую ось на интервалы, на которых мы будем исследовать знак производной.

4. Определение знака производной на интервалах.

   Точка $x = 1$ делит область определения на два интервала: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак $f'(x)$ на каждом из них.

   Выражение для производной: $f'(x) = \frac{-7}{(x - 1)^2}$.

   Числитель (-7) всегда отрицателен.

   Знаменатель $(x - 1)^2$ всегда положителен для любого $x \neq 1$.

   Таким образом, $f'(x) = \frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}} < 0$ для всех $x$ из области определения функции.

5. Вывод о промежутках возрастания и убывания.

   Согласно правилу, если $f'(x) < 0$ на интервале, то функция на этом интервале убывает. Если $f'(x) > 0$ — возрастает.

   Поскольку $f'(x) < 0$ на обоих интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$, функция $f(x)$ убывает на каждом из этих интервалов.

Промежутки возрастания: Ответ: промежутков возрастания нет.

Промежутки убывания: Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.