Номер 3.112, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.112. Выберите последовательность действий и составьте уравнение касательной к графику функции $y = 3x^3 + 2x + 5$ в точке пересечения этого графика с осью ординат.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ находится по формуле:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения задачи выберем и выполним следующую последовательность действий:

1. Нахождение координат точки касания.
Согласно условию, точка касания — это точка пересечения графика функции $y = 3x^3 + 2x + 5$ с осью ординат. Пересечение с осью ординат происходит при значении абсциссы $x=0$.
Следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = 0$.
Для нахождения ординаты $y_0$ подставим значение $x_0 = 0$ в уравнение функции:
$y_0 = f(0) = 3 \cdot (0)^3 + 2 \cdot (0) + 5 = 0 + 0 + 5 = 5$.
Ответ: Координаты точки касания $(0; 5)$.

2. Нахождение производной функции.
Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную данной функции $f(x) = 3x^3 + 2x + 5$. Используем правила дифференцирования:
$f'(x) = (3x^3 + 2x + 5)' = (3x^3)' + (2x)' + (5)' = 3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 1 + 0 = 9x^2 + 2$.
Ответ: Производная функции: $f'(x) = 9x^2 + 2$.

3. Нахождение углового коэффициента касательной.
Угловой коэффициент $k$ касательной равен значению производной в точке касания $x_0 = 0$.
$k = f'(x_0) = f'(0) = 9 \cdot (0)^2 + 2 = 2$.
Ответ: Угловой коэффициент касательной равен 2.

4. Составление уравнения касательной.
Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $y_0 = 5$ и $k = f'(0) = 2$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = y_0 + k \cdot (x - x_0)$
$y = 5 + 2 \cdot (x - 0)$
$y = 5 + 2x$
$y = 2x + 5$
Ответ: Уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с осью ординат: $y = 2x + 5$.