Номер 3.107, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.107. Используйте алгоритм и найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции:

а) $f(x) = \frac{x^2}{2} - x$ в точке $x_0 = -1$;

б) $f(x) = x^3 - 3x^2$ в точке $x_0 = 1$.

Для нахождения угла наклона касательной к графику функции используется следующий алгоритм, основанный на геометрическом смысле производной.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

Этот же угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.

Таким образом, для нахождения угла $\alpha$ необходимо найти производную $f'(x)$, вычислить ее значение в точке $x_0$ и затем найти арктангенс этого значения: $\alpha = \arctan(f'(x_0))$.

а) $f(x) = \frac{x^2}{2} - x$ в точке $x_0 = -1$;

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{x^2}{2} - x\right)' = \left(\frac{1}{2}x^2\right)' - (x)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^1 - 1 = x - 1$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -1$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной:

$k = f'(-1) = -1 - 1 = -2$.

3. Находим угол наклона $\alpha$ из соотношения $\tan(\alpha) = k$:

$\tan(\alpha) = -2$.

Отсюда, угол наклона $\alpha = \arctan(-2)$.

Обычно угол наклона рассматривается в диапазоне $[0, 180^\circ)$, поэтому можно также записать ответ как $\alpha = 180^\circ - \arctan(2)$, что приблизительно равно $116.6^\circ$.

Ответ: $\arctan(-2)$.

б) $f(x) = x^3 - 3x^2$ в точке $x_0 = 1$.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = (x^3)' - (3x^2)' = 3x^2 - 3 \cdot 2x = 3x^2 - 6x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$ для нахождения углового коэффициента $k$ касательной:

$k = f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$.

3. Находим угол наклона $\alpha$ из соотношения $\tan(\alpha) = k$:

$\tan(\alpha) = -3$.

Отсюда, угол наклона $\alpha = \arctan(-3)$.

В диапазоне $[0, 180^\circ)$ этот угол равен $\alpha = 180^\circ - \arctan(3)$, что приблизительно равно $108.4^\circ$.

Ответ: $\arctan(-3)$.