Номер 3.103, страница 254 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.103. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки минимума и максимума функции $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x+1}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1}$, необходимо исследовать её с помощью производной.

1. Область определения функции

Функция является дробно-рациональной. Её область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^2 - 8x)'(x + 1) - (x^2 - 8x)(x + 1)'}{(x + 1)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x - 8)(x + 1) - (x^2 - 8x) \cdot 1}{(x + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - 8x - 8 - x^2 + 8x}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2}$

3. Нахождение критических точек

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная не существует в точке $x = -1$, но она не входит в область определения функции.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

$x_1 \cdot x_2 = -8$

$x_1 + x_2 = -2$

Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат области определения функции и являются критическими.

4. Анализ знаков производной

Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками $x = -4$, $x = 2$ и точкой разрыва $x = -1$.

Знак $f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2}$ зависит только от знака числителя $x^2 + 2x - 8$, так как знаменатель $(x + 1)^2$ всегда положителен при $x \neq -1$.

График числителя $y = x^2 + 2x - 8$ — это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках -4 и 2.

• На интервале $(-\infty, -4)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• На интервале $(-4, -1)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• На интервале $(-1, 2)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• На интервале $(2, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

Результаты исследования

Промежутки возрастания: Ответ: $(-\infty, -4]$ и $[2, +\infty)$.

Промежутки убывания: Ответ: $[-4, -1)$ и $(-1, 2]$.

Точка максимума: В точке $x = -4$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. Ответ: $x_{max} = -4$.

Точка минимума: В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. Ответ: $x_{min} = 2$.