Номер 3.98, страница 254 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.98. Функция $y = f(x)$ определена на множестве действительных чисел. Известно, что $f'(x) = (x-2)(x+3)(x-1)$. Найдите промежутки возрастания функции.

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции $y = f(x)$, необходимо определить, на каких интервалах ее производная $f'(x)$ неотрицательна, то есть $f'(x) \geq 0$.

По условию задачи, производная функции задана выражением:

$f'(x) = (x-2)(x+3)(x-1)$

Решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$(x-2)(x+3)(x-1) \geq 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули производной, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$(x-2)(x+3)(x-1) = 0$

Корнями этого уравнения являются точки $x = 2$, $x = -3$ и $x = 1$.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка. Определим знак производной $f'(x)$ в каждом из них, подставив любое значение из соответствующего интервала:

• Интервал $(-\infty; -3)$. Возьмем $x = -4$:
  $f'(-4) = (-4-2)(-4+3)(-4-1) = (-6)(-1)(-5) = -30$. Знак "−".
• Интервал $(-3; 1)$. Возьмем $x = 0$:
  $f'(0) = (0-2)(0+3)(0-1) = (-2)(3)(-1) = 6$. Знак "+".
• Интервал $(1; 2)$. Возьмем $x = 1.5$ (или $3/2$):
  $f'(1.5) = (1.5-2)(1.5+3)(1.5-1) = (-0.5)(4.5)(0.5) = -1.125$. Знак "−".
• Интервал $(2; +\infty)$. Возьмем $x = 3$:
  $f'(3) = (3-2)(3+3)(3-1) = (1)(6)(2) = 12$. Знак "+".

Функция $y = f(x)$ возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x) \geq 0$. Судя по знакам, это промежутки $[-3; 1]$ и $[2; +\infty)$. Мы включаем концы отрезков, так как в этих точках производная равна нулю, а сама функция непрерывна.

Ответ: Промежутки возрастания функции: $[-3; 1]$ и $[2; +\infty)$.