Номер 3.95, страница 253 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.95. Приведите пример функции, убывающей на всей области определения.

Функция $f(x)$ называется убывающей на всей своей области определения $D(f)$, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из $D(f)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Для выполнения задания можно привести в пример функции из разных классов.

Пример 1: Линейная функция

Рассмотрим любую линейную функцию вида $y = kx + b$ с отрицательным угловым коэффициентом ($k < 0$). Самый простой случай – это функция $y = -x$.

• Функция: $f(x) = -x$
• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, то есть все действительные числа.
• Доказательство: Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
  $-x_1 > -x_2$
  Это означает, что $f(x_1) > f(x_2)$. Следовательно, по определению, функция $y = -x$ убывает на всей своей области определения.

Пример 2: Показательная функция

Рассмотрим показательную функцию $y = a^x$, основание которой $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Например, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

• Функция: $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ или $f(x) = 2^{-x}$
• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Доказательство: По свойству показательной функции, если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей на всей числовой прямой. То есть для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.

Пример 3: Степенная функция

Рассмотрим степенную функцию вида $y = -x^n$, где $n$ — нечетное натуральное число. Например, $y = -x^3$.

• Функция: $f(x) = -x^3$
• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Доказательство: Возьмем произвольные $x_1 < x_2$. Функция $g(x) = x^3$ является возрастающей для всех действительных чисел, поэтому из $x_1 < x_2$ следует, что $x_1^3 < x_2^3$. Умножив обе части последнего неравенства на $-1$, мы сменим знак неравенства на противоположный:
  $-x_1^3 > -x_2^3$
  то есть $f(x_1) > f(x_2)$. Таким образом, функция $y = -x^3$ убывает на всей области определения.

Другие возможные примеры

Существует множество других функций, убывающих на всей своей области определения:

• Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ при $0 < a < 1$ (например, $y = \log_{0.5}(x)$). Ее область определения: $(0, +\infty)$.
• Обратная тригонометрическая функция $y = \arccot(x)$. Ее область определения: $(-\infty, +\infty)$.
• Обратная тригонометрическая функция $y = \arccos(x)$. Ее область определения: $[-1, 1]$.